12. Решить уравнение: 3 cos x - cos 2x = 0

Ответ: x = π/2 + πn, x = ±π/3 + 2πn, где n ∈ Z

1. Шаг 1: Преобразуем cos 2x, используя формулу двойного угла:

   \[\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\]

   Тогда уравнение примет вид:\[3 \cos x - (2 \cos^2 x - 1) = 0\]

2. Шаг 2: Упростим уравнение:

   Показать подробные вычисления

   \[3 \cos x - 2 \cos^2 x + 1 = 0\]\[-2 \cos^2 x + 3 \cos x + 1 = 0\]\[2 \cos^2 x - 3 \cos x - 1 = 0\]

3. Шаг 3: Сделаем замену переменной: Пусть \[t = \cos x\]

   Тогда уравнение станет квадратным: \[2t^2 - 3t - 1 = 0\]

4. Шаг 4: Решим квадратное уравнение относительно t:

   Показать подробные вычисления

   • Найдем дискриминант: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17\]
   • Найдем корни: \[t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \approx 1.78\]\[t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - \sqrt{17}}{4} \approx -0.28\]

5. Шаг 5: Вернемся к переменной x:

   • \[\cos x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \approx 1.78\] - не имеет решений, так как \[|\cos x| \le 1\]
   • \[\cos x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4} \approx -0.28\] - имеет решения.

6. Шаг 6: Найдем решения для \[\cos x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}\]:

   \[x = \pm \arccos(\frac{3 - \sqrt{17}}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: x = π/2 + πn, x = ±π/3 + 2πn, где n ∈ Z