Решить систему уравнений {x - y = 7, xy = -10 {1/x + 1/y = 5/6

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим первые два уравнения: \( x - y = 7 \) и \( xy = -10 \).
2. Из первого уравнения выразим \( x = y + 7 \).
3. Подставим во второе уравнение: \( (y + 7)y = -10 \) \( \Rightarrow y² + 7y + 10 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение: \( (y + 2)(y + 5) = 0 \). Отсюда \( y₁ = -2 \) и \( y₂ = -5 \).
5. Найдем соответствующие значения \( x \): \( x₁ = -2 + 7 = 5 \) и \( x₂ = -5 + 7 = 2 \).
6. Теперь проверим эти пары решений в третьем уравнении \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \).
• Проверка для пары (5; -2): \( \frac{1}{5} + \frac{1}{-2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 5}{10} = \frac{-3}{10} \). Это не равно \( \frac{5}{6} \).
• Проверка для пары (2; -5): \( \frac{1}{2} + \frac{1}{-5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 2}{10} = \frac{3}{10} \). Это также не равно \( \frac{5}{6} \).
7. Сделаем вывод, что система уравнений, включающая все три уравнения, не имеет решений. Однако, если предположить, что было задание решить систему из первых двух уравнений, а затем отдельную систему из первого и третьего, или второго и третьего, или же, что в задании была опечатка.
8. Предположим, что нужно решить систему: \( x - y = 7 \) и \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \).
• Приведем третье уравнение к общему знаменателю: \( \frac{y + x}{xy} = \frac{5}{6} \).
• Подставим \( x - y = 7 \) (отсюда \( x = y + 7 \)) и \( xy \) из \( x - y = 7 \) в \( \frac{y + x}{xy} = \frac{5}{6} \): \( \frac{(y + 7) + y}{(y+7)y} = \frac{5}{6} \) \( \Rightarrow \frac{2y + 7}{y² + 7y} = \frac{5}{6} \).
• Перекрестное умножение: \( 6(2y + 7) = 5(y² + 7y) \) \( \Rightarrow 12y + 42 = 5y² + 35y \) \( \Rightarrow 5y² + 23y - 42 = 0 \).
• Решим квадратное уравнение: \( D = 23² - 4 \cdot 5 \cdot (-42) = 529 + 840 = 1369 \). \( \sqrt{D} = 37 \).
• \( y₁ = \frac{-23 + 37}{10} = \frac{14}{10} = 1.4 \) и \( y₂ = \frac{-23 - 37}{10} = \frac{-60}{10} = -6 \).
• Найдем соответствующие \( x \): \( x₁ = 1.4 + 7 = 8.4 \) и \( x₂ = -6 + 7 = 1 \).
• Пары решений: (8.4; 1.4) и (1; -6).
9. Предположим, что нужно решить систему: \( xy = -10 \) и \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \).
• Приведем третье уравнение к общему знаменателю: \( \frac{y + x}{xy} = \frac{5}{6} \).
• Подставим \( xy = -10 \): \( \frac{x + y}{-10} = \frac{5}{6} \) \( \Rightarrow x + y = -10 \cdot \frac{5}{6} = -\frac{50}{6} = -\frac{25}{3} \).
• Теперь у нас есть система: \( x + y = -\frac{25}{3} \) и \( xy = -10 \).
• Составим квадратное уравнение: \( t² - (x+y)t + xy = 0 \) \( \Rightarrow t² - (-\frac{25}{3})t - 10 = 0 \) \( \Rightarrow t² + \frac{25}{3}t - 10 = 0 \).
• Умножим на 3: \( 3t² + 25t - 30 = 0 \).
• Решим квадратное уравнение: \( D = 25² - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 625 + 360 = 985 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{985} \).
• \( t₁ = \frac{-25 + \sqrt{985}}{6} \) и \( t₂ = \frac{-25 - \sqrt{985}}{6} \).
• Пары решений: \( (\frac{-25 + \sqrt{985}}{6}; \frac{-25 - \sqrt{985}}{6}) \) и \( (\frac{-25 - \sqrt{985}}{6}; \frac{-25 + \sqrt{985}}{6}) \).

Ответ: Система уравнений, включающая все три уравнения, не имеет решений. Если решаются отдельные системы, то: для \( x-y=7, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6} \) решения: (8.4; 1.4), (1; -6). Для \( xy=-10, \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6} \) решения: \( (\frac{-25 + \sqrt{985}}{6}; \frac{-25 - \sqrt{985}}{6}) \) и \( (\frac{-25 - \sqrt{985}}{6}; \frac{-25 + \sqrt{985}}{6}) \).