Решить системы неравенств: a) {6-3x ≤ 7, 3+5x > 6. b) {7x+14 > 0, 3x-9 < 0. г) {7x+21 < 0, 3x-6 > 0. б) {3+4x ≤ 1, 2-7x > 6. 2. Решите двойное неравенство: 3 ≤ x-1 ≤ 8 3. Решите неравенства: a) |x-2|≤5; б) |x+1|>4.

## Решение систем неравенств и неравенств с модулем ### 1. Решение систем неравенств #### а) Система неравенств: \[ \begin{cases} 6 - 3x \leq 7 \\ 3 + 5x > 6 \end{cases} \] Решаем первое неравенство: \[ 6 - 3x \leq 7 \Rightarrow -3x \leq 1 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{3} \] Решаем второе неравенство: \[ 3 + 5x > 6 \Rightarrow 5x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{5} \] Объединяем решения: \[ x \geq -\frac{1}{3} \text{ и } x > \frac{3}{5} \] Так как $$x$$ должен удовлетворять обоим неравенствам, выбираем больший интервал. Таким образом, $$x > \frac{3}{5}$$. Ответ: $$x > \frac{3}{5}$$ #### б) Система неравенств: \[ \begin{cases} 3 + 4x \leq 1 \\ 2 - 7x > 6 \end{cases} \] Решаем первое неравенство: \[ 3 + 4x \leq 1 \Rightarrow 4x \leq -2 \Rightarrow x \leq -\frac{1}{2} \] Решаем второе неравенство: \[ 2 - 7x > 6 \Rightarrow -7x > 4 \Rightarrow x < -\frac{4}{7} \] Объединяем решения: \[ x \leq -\frac{1}{2} \text{ и } x < -\frac{4}{7} \] Так как $$x$$ должен удовлетворять обоим неравенствам, выбираем меньший интервал. Таким образом, $$x \leq -\frac{1}{2}$$ (так как $$-\frac{1}{2} < -\frac{4}{7}$$). Ответ: $$x \leq -\frac{1}{2}$$ #### в) Система неравенств: \[ \begin{cases} 7x + 14 > 0 \\ 3x - 9 < 0 \end{cases} \] Решаем первое неравенство: \[ 7x + 14 > 0 \Rightarrow 7x > -14 \Rightarrow x > -2 \] Решаем второе неравенство: \[ 3x - 9 < 0 \Rightarrow 3x < 9 \Rightarrow x < 3 \] Объединяем решения: \[ x > -2 \text{ и } x < 3 \] Таким образом, $$-2 < x < 3$$. Ответ: $$-2 < x < 3$$ #### г) Система неравенств: \[ \begin{cases} 7x + 21 < 0 \\ 3x - 6 > 0 \end{cases} \] Решаем первое неравенство: \[ 7x + 21 < 0 \Rightarrow 7x < -21 \Rightarrow x < -3 \] Решаем второе неравенство: \[ 3x - 6 > 0 \Rightarrow 3x > 6 \Rightarrow x > 2 \] Объединяем решения: \[ x < -3 \text{ и } x > 2 \] Здесь нет решений, так как $$x$$ не может быть одновременно меньше -3 и больше 2. Ответ: Нет решений ### 2. Решение двойного неравенства: \[ 3 \leq x - 1 \leq 8 \] Прибавляем 1 ко всем частям неравенства: \[ 3 + 1 \leq x - 1 + 1 \leq 8 + 1 \Rightarrow 4 \leq x \leq 9 \] Ответ: $$4 \leq x \leq 9$$ ### 3. Решение неравенств с модулем #### а) Неравенство с модулем: \[ |x - 2| \leq 5 \] Это означает, что: \[ -5 \leq x - 2 \leq 5 \] Прибавляем 2 ко всем частям неравенства: \[ -5 + 2 \leq x - 2 + 2 \leq 5 + 2 \Rightarrow -3 \leq x \leq 7 \] Ответ: $$-3 \leq x \leq 7$$ #### б) Неравенство с модулем: \[ |x + 1| > 4 \] Это означает, что либо $$x + 1 > 4$$, либо $$x + 1 < -4$$. Решаем первое неравенство: \[ x + 1 > 4 \Rightarrow x > 3 \] Решаем второе неравенство: \[ x + 1 < -4 \Rightarrow x < -5 \] Ответ: $$x < -5$$ или $$x > 3$$ ### Развёрнутый ответ для школьника: Привет! Давай разберём эти задания вместе. Мы решали системы неравенств, двойные неравенства и неравенства с модулем. Самое главное — понять, как каждое действие влияет на знак неравенства. Например, когда мы умножаем или делим обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный. При решении неравенств с модулем помни, что модуль делает число всегда положительным, поэтому нужно рассмотреть два случая: когда выражение внутри модуля положительное и когда отрицательное. Твои ответы должны быть интервалами или объединением интервалов, показывающими, какие значения $$x$$ подходят. Надеюсь, это поможет тебе лучше понять материал! Удачи в учёбе!