4) решить системы уравнений: \begin{cases}x^2 + y = 4\\x^4 + 10y = 31\end{cases} \begin{cases}x-3y=1\\x^2-9y^2 = 19\end{cases} \begin{cases}xy = 36\\x^2 - y^2 = 65\end{cases}

Решим системы уравнений:

1. $$\begin{cases}x^2 + y = 4\\x^4 + 10y = 31\end{cases}$$

   Выразим y из первого уравнения: $$y = 4 - x^2$$. Подставим во второе уравнение:

   $$x^4 + 10(4 - x^2) = 31$$

   $$x^4 - 10x^2 + 40 = 31$$

   $$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$$

   Замена: $$z = x^2$$. Получаем $$z^2 - 10z + 9 = 0$$. Корни: $$z_1 = 1$$, $$z_2 = 9$$

   Обратная замена: $$x^2 = 1$$, $$x^2 = 9$$. Корни: $$x_1 = -1$$, $$x_2 = 1$$, $$x_3 = -3$$, $$x_4 = 3$$.

   Найдем соответствующие значения y: $$y_1 = 4 - (-1)^2 = 3$$, $$y_2 = 4 - 1^2 = 3$$, $$y_3 = 4 - (-3)^2 = -5$$, $$y_4 = 4 - 3^2 = -5$$.

   Решения: $$(-1, 3), (1, 3), (-3, -5), (3, -5)$$.

2. $$\begin{cases}x-3y=1\\x^2-9y^2 = 19\end{cases}$$

   Из первого уравнения: $$x = 3y + 1$$. Подставим во второе уравнение:

   $$(3y + 1)^2 - 9y^2 = 19$$

   $$9y^2 + 6y + 1 - 9y^2 = 19$$

   $$6y = 18$$

   $$y = 3$$

   Найдем x: $$x = 3(3) + 1 = 10$$.

   Решение: $$(10, 3)$$.

3. $$\begin{cases}xy = 36\\x^2 - y^2 = 65\end{cases}$$

   Выразим y из первого уравнения: $$y = \frac{36}{x}$$. Подставим во второе уравнение:

   $$x^2 - (\frac{36}{x})^2 = 65$$

   $$x^2 - \frac{1296}{x^2} = 65$$

   $$x^4 - 1296 = 65x^2$$

   $$x^4 - 65x^2 - 1296 = 0$$

   Замена: $$z = x^2$$. Получаем $$z^2 - 65z - 1296 = 0$$.

   Корни: $$z_1 = 81$$, $$z_2 = -16$$.

   Обратная замена: $$x^2 = 81$$, $$x^2 = -16$$. Корни: $$x_1 = -9$$, $$x_2 = 9$$.

   Найдем соответствующие значения y: $$y_1 = \frac{36}{-9} = -4$$, $$y_2 = \frac{36}{9} = 4$$.

   Решения: $$(-9, -4), (9, 4)$$.

Ответ: Решены системы уравнений.