Решить уравнение: \[(x^2 - 64)^2 + (x^2 + 5x - 104)^2 = 0\]

Дано уравнение: \[(x^2 - 64)^2 + (x^2 + 5x - 104)^2 = 0\] Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Следовательно, имеем систему уравнений: \[\begin{cases} x^2 - 64 = 0 \\ x^2 + 5x - 104 = 0 \end{cases}\] Решим первое уравнение: \[x^2 - 64 = 0 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8\] Решим второе уравнение: \[x^2 + 5x - 104 = 0\] Используем квадратное уравнение для нахождения корней: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] В нашем случае, $$a = 1$$, $$b = 5$$, $$c = -104$$. Тогда: \[x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-104)}}{2(1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 416}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-5 \pm 21}{2}\] Получаем два корня: \[x_1 = \frac{-5 + 21}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{-5 - 21}{2} = \frac{-26}{2} = -13\] Таким образом, корни второго уравнения: $$x = 8$$ и $$x = -13$$. Теперь найдем общие корни системы. Из первого уравнения мы получили $$x = 8$$ и $$x = -8$$. Из второго уравнения мы получили $$x = 8$$ и $$x = -13$$. Общий корень этих двух уравнений $$x = 8$$. Ответ: 8 Разъяснение для ученика: 1. Что такое сумма квадратов? Это когда мы берем несколько чисел, каждое из которых возводим в квадрат (то есть умножаем само на себя), а потом складываем результаты. Например, $$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$$. 2. Когда сумма квадратов равна нулю? Сумма квадратов может быть равна нулю только в одном случае: когда каждое из чисел, которые мы возводим в квадрат, равно нулю. Почему? Потому что квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Если хоть одно из чисел не равно нулю, то его квадрат будет положительным, и сумма уже не сможет быть нулем. 3. Как это применить к уравнению? В нашем уравнении $$(x^2 - 64)^2 + (x^2 + 5x - 104)^2 = 0$$ мы видим сумму двух квадратов. Чтобы эта сумма была равна нулю, нужно, чтобы оба выражения в скобках были равны нулю. То есть: * $$x^2 - 64 = 0$$ * $$x^2 + 5x - 104 = 0$$ 4. Решаем первое уравнение: $$x^2 - 64 = 0$$. Это значит, что $$x^2$$ должно быть равно 64. Какие числа при возведении в квадрат дают 64? Это 8 и -8. Потому что $$8*8 = 64$$ и $$(-8)*(-8) = 64$$. 5. Решаем второе уравнение: $$x^2 + 5x - 104 = 0$$. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта. Мы находим корни этого уравнения, и получаем $$x = 8$$ и $$x = -13$$. 6. Находим общий корень: Теперь у нас есть корни из обоих уравнений. Чтобы найти решение исходного уравнения, нам нужно найти число, которое является корнем обоих уравнений. В нашем случае это число 8. Потому что $$x = 8$$ подходит и для первого, и для второго уравнения. Итак, ответ: 8.