Контрольные задания > Решить уравнение: $$\frac{20}{45+x} + \frac{120}{45-x} = 6$$
Вопрос:

Решить уравнение: $$\frac{20}{45+x} + \frac{120}{45-x} = 6$$

Ответ:

Решим уравнение по шагам:
  1. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $$(45 + x)(45 - x)$$. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:
    $$ \frac{20(45-x)}{(45+x)(45-x)} + \frac{120(45+x)}{(45-x)(45+x)} = 6 $$
  2. Объединим дроби:
    $$ \frac{20(45-x) + 120(45+x)}{(45+x)(45-x)} = 6 $$
  3. Раскроем скобки в числителе:
    $$ \frac{900 - 20x + 5400 + 120x}{(45+x)(45-x)} = 6 $$
  4. Приведем подобные в числителе:
    $$ \frac{6300 + 100x}{(45+x)(45-x)} = 6 $$
  5. Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу разности квадратов: $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$
    $$ \frac{6300 + 100x}{45^2 - x^2} = 6 $$ $$ \frac{6300 + 100x}{2025 - x^2} = 6 $$
  6. Умножим обе части уравнения на $$(2025 - x^2)$$:
    $$ 6300 + 100x = 6(2025 - x^2) $$
  7. Раскроем скобки в правой части:
    $$ 6300 + 100x = 12150 - 6x^2 $$
  8. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
    $$ 6x^2 + 100x + 6300 - 12150 = 0 $$ $$ 6x^2 + 100x - 5850 = 0 $$
  9. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить коэффициенты:
    $$ 3x^2 + 50x - 2925 = 0 $$
  10. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
    $$ D = b^2 - 4ac = 50^2 - 4 cdot 3 cdot (-2925) = 2500 + 35100 = 37600 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{37600} = 20\sqrt{94} $$
  11. Найдем корни уравнения:
    $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-50 + 20\sqrt{94}}{2 \cdot 3} = \frac{-50 + 20\sqrt{94}}{6} = \frac{-25 + 10\sqrt{94}}{3} $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-50 - 20\sqrt{94}}{2 \cdot 3} = \frac{-50 - 20\sqrt{94}}{6} = \frac{-25 - 10\sqrt{94}}{3} $$
Таким образом, корни уравнения:
$$x_1 = \frac{-25 + 10\sqrt{94}}{3}$$
$$x_2 = \frac{-25 - 10\sqrt{94}}{3}$$
Ответ: $$x_1 = \frac{-25 + 10\sqrt{94}}{3}$$, $$x_2 = \frac{-25 - 10\sqrt{94}}{3}$$
Смотреть решения всех заданий с листа
Подать жалобу Правообладателю

Похожие