Решить уравнение: $$\frac{x+2}{x^2-2x} - \frac{x}{x-2} = \frac{3}{x}$$

Сначала перепишем уравнение, разложив знаменатель первой дроби на множители:

$$\frac{x+2}{x(x-2)} - \frac{x}{x-2} = \frac{3}{x}$$

Теперь найдем общий знаменатель для всех дробей. Общий знаменатель будет $$x(x-2)$$. Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

$$\frac{x+2}{x(x-2)} - \frac{x \cdot x}{x(x-2)} = \frac{3(x-2)}{x(x-2)}$$

Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, можем записать уравнение в виде:

$$x+2 - x^2 = 3(x-2)$$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$x+2 - x^2 = 3x - 6$$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$x^2 + 2x - 8 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета. Давай воспользуемся теоремой Виета. Нам нужно найти два числа, которые в сумме дают -2, а в произведении -8. Эти числа: 2 и -4.

Таким образом, уравнение можно разложить на множители:

$$(x + 4)(x - 2) = 0$$

Значит, корни уравнения:

$$x = -4 \quad \text{или} \quad x = 2$$

Однако, нам нужно проверить, не являются ли эти корни посторонними, учитывая исходное уравнение. В знаменателях исходного уравнения есть выражения $$x$$ и $$x-2$$. Если $$x = 0$$ или $$x = 2$$, то знаменатели обращаются в ноль, что недопустимо.

Получается, что $$x = 2$$ является посторонним корнем.

Таким образом, единственным решением уравнения является $$x = -4$$.

Ответ: -4