Решить уравнение: 8 \cdot 10^{2x-7} = 2^{x+3} \cdot 5^{x}.

Ответ: x = 7

1. Представим 8 как 2³, а 10 как 2 \cdot 5: \[8 \cdot 10^{2x-7} = 2^{x+3} \cdot 5^{x}\]\[2^3 \cdot (2 \cdot 5)^{2x-7} = 2^{x+3} \cdot 5^{x}\]\[2^3 \cdot 2^{2x-7} \cdot 5^{2x-7} = 2^{x+3} \cdot 5^{x}\]
2. Сгруппируем степени с одинаковым основанием: \[2^{3+2x-7} \cdot 5^{2x-7} = 2^{x+3} \cdot 5^{x}\]\[2^{2x-4} \cdot 5^{2x-7} = 2^{x+3} \cdot 5^{x}\]
3. Разделим обе части уравнения на 2^{x+3} \cdot 5^{x}: \[\frac{2^{2x-4} \cdot 5^{2x-7}}{2^{x+3} \cdot 5^{x}} = 1\]\[2^{(2x-4)-(x+3)} \cdot 5^{(2x-7)-x} = 1\]\[2^{2x-4-x-3} \cdot 5^{2x-7-x} = 1\]\[2^{x-7} \cdot 5^{x-7} = 1\]
4. Представим 1 как (2 \cdot 5)^0 : \[2^{x-7} \cdot 5^{x-7} = 1\]\[(2 \cdot 5)^{x-7} = 1\]\[10^{x-7} = 10^0\]
5. Приравняем показатели степеней: \[x - 7 = 0\]\[x = 7\]

Ответ: x = 7