Решить уравнение: 1) 3 cos x - cos²x = 0; 2) 6 sin²x - sin x = 1; 3) 4 sin x + 5 cos x = 4; 4) sin⁴x + cos⁴x = cos² 2x + 1/4.

Решить уравнение:

1. \( 3 \cos x - \cos^2 x = 0 \)

\( \cos x (3 - \cos x) = 0 \)

\( \cos x = 0 \) или \( 3 - \cos x = 0 \)

\( \cos x = 0 \) \( \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)

\( \cos x = 3 \) (нет решений, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \))

2. \( 6 \sin^2 x - \sin x = 1 \)

Пусть \( y = \sin x \). Тогда \( 6y^2 - y - 1 = 0 \).

\( y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(6)(-1)}}{2(6)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{1 \pm 5}{12} \)

\( y_1 = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)

\( y_2 = \frac{1-5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} \)

\( \sin x = \frac{1}{2} \) \( \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)

\( \sin x = -\frac{1}{3} \) \( \Rightarrow x = \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi n \) или \( x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

\( x = -\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n \) или \( x = \pi + \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

3. \( 4 \sin x + 5 \cos x = 4 \)

Возведём обе части в квадрат после выделения одного из тригонометрических функций:

\( 4 \sin x = 4 - 5 \cos x \)

\( (4 \sin x)^2 = (4 - 5 \cos x)^2 \)

\( 16 \sin^2 x = 16 - 40 \cos x + 25 \cos^2 x \)

\( 16(1 - \cos^2 x) = 16 - 40 \cos x + 25 \cos^2 x \)

\( 16 - 16 \cos^2 x = 16 - 40 \cos x + 25 \cos^2 x \)

\( 0 = 41 \cos^2 x - 40 \cos x \)

\( \cos x (41 \cos x - 40) = 0 \)

\( \cos x = 0 \) или \( \cos x = \frac{40}{41} \)

Если \( \cos x = 0 \): \( \sin x = \pm 1 \). Подставляем в исходное уравнение:

\( 4(\pm 1) + 5(0) = 4 \). \( \pm 4 = 4 \). Значит, \( \sin x = 1 \). Если \( \cos x = 0 \) и \( \sin x = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \).

Если \( \cos x = \frac{40}{41} \): \( \sin^2 x = 1 - (\frac{40}{41})^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{81}{1681} \). \( \sin x = \pm \frac{9}{41} \).

Подставляем в исходное уравнение:

\( 4(\pm \frac{9}{41}) + 5(\frac{40}{41}) = 4 \)

\( \pm \frac{36}{41} + \frac{200}{41} = \frac{164}{41} \)

\( \pm 36 + 200 = 164 \)

\( 36 + 200 = 236
e 164 \) (не подходит)

\( -36 + 200 = 164 \) (подходит). Значит, \( \sin x = -\frac{9}{41} \) и \( \cos x = \frac{40}{41} \). Это соответствует \( x = \arccos(\frac{40}{41}) \) из IV четверти.

\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) и \( x = \pm \arccos(\frac{40}{41}) + 2\pi m \), где \( \sin x \) отрицателен, т.е. \( x = -\arccos(\frac{40}{41}) + 2\pi m \).

4. \( \sin^4 x + \cos^4 x = \cos^2 2x + \frac{1}{4} \)

Используем формулы:

\( \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x \)

\( \cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x \)

Подставляем в уравнение:

\( 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x = (1 - \sin^2 2x) + \frac{1}{4} \)

\( 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x = 1 - \sin^2 2x + \frac{1}{4} \)

\( \sin^2 2x - \frac{1}{2} \sin^2 2x = \frac{1}{4} \)

\( \frac{1}{2} \sin^2 2x = \frac{1}{4} \)

\( \sin^2 2x = \frac{1}{2} \)

\( \sin 2x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Если \( \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \( 2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( 2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = \frac{\pi}{8} + \pi k \) или \( x = \frac{3\pi}{8} + \pi k \)

Если \( \sin 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): \( 2x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( 2x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \)

\( x = -\frac{\pi}{8} + \pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{8} + \pi n \)

Объединяя решения:

\( 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} m \) \( \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} m, m \in \mathbb{Z} \)

Ответ: 1) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \); 2) \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, x = -\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n, x = \pi + \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z} \); 3) \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) и \( x = -\arccos(\frac{40}{41}) + 2\pi m \), \( k, m \in \mathbb{Z} \); 4) \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} m, m \in \mathbb{Z} \).