Решить уравнение (208–223). На изображении видны задания 208–214: 208) 1) $4^{x-1}=1$; 2) $0{,}3^{3x-2}=1$; 3) $2^{2x}=2^{4\sqrt3}$; 4) $\left(\frac13\right)^{3x}=\left(\frac13\right)^{-2}$. 209) 1) $27^x=\frac13$; 2) $400^x=\frac1{20}$; 3) $\left(\frac15\right)^x=25$; 4) $\left(\frac13\right)^x=\frac1{81}$. 210) 1) $3\cdot9^x=81$; 2) $2\cdot4^x=64$; 3) $3^{x+\frac12}\cdot3^{x-2}=1$; 4) $0{,}5^{x+7}\cdot0{,}5^{1-2x}=2$; 5) $0{,}6^x\cdot0{,}6^3=\frac{0{,}6^{2x}}{0{,}6^5}$; 6) $6^{3x}\cdot\frac16=6\cdot\left(\frac16\right)^{2x}$. 211) 1) $3^{2x-1}+3^{2x}=108$; 2) $2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$; 3) $2^{x+1}+2^{x-1}+2^x=28$; 4) $3^{x-1}-3^x+3^{x+1}=63$. 212) 1) $5^x=8^x$; 2) $\left(\frac12\right)^x=\left(\frac13\right)^x$; 3) $3^x=5^{2x}$; 4) $4^x=3^{x/2}$. 213) 1) $9^x-4\cdot3^x+3=0$; 2) $16^x-17\cdot4^x+16=0$; 3) $25^x-6\cdot5^x+5=0$; 4) $64^x-8^x-56=0$. 214) 1) $3^{x^2+x-12}=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $2^{\frac{x-1}{x-2}}=4$; 4) $0{,}5^{1/x}=4^{1/(x+1)}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решить уравнение (208–223). На изображении видны задания 208–214: 208) 1) $4^{x-1}=1$; 2) $0{,}3^{3x-2}=1$; 3)…$ Фото задания

Решить уравнение (208–223). На изображении видны задания 208–214: 208) 1) $4^{x-1}=1$; 2) $0{,}3^{3x-2}=1$; 3) $2^{2x}=2^{4\sqrt3}$; 4) $\left(\frac13\right)^{3x}=\left(\frac13\right)^{-2}$. 209) 1) $27^x=\frac13$; 2) $400^x=\frac1{20}$; 3) $\left(\frac15\right)^x=25$; 4) $\left(\frac13\right)^x=\frac1{81}$. 210) 1) $3\cdot9^x=81$; 2) $2\cdot4^x=64$; 3) $3^{x+\frac12}\cdot3^{x-2}=1$; 4) $0{,}5^{x+7}\cdot0{,}5^{1-2x}=2$; 5) $0{,}6^x\cdot0{,}6^3=\frac{0{,}6^{2x}}{0{,}6^5}$; 6) $6^{3x}\cdot\frac16=6\cdot\left(\frac16\right)^{2x}$. 211) 1) $3^{2x-1}+3^{2x}=108$; 2) $2^{3x+2}-2^{3x-2}=30$; 3) $2^{x+1}+2^{x-1}+2^x=28$; 4) $3^{x-1}-3^x+3^{x+1}=63$. 212) 1) $5^x=8^x$; 2) $\left(\frac12\right)^x=\left(\frac13\right)^x$; 3) $3^x=5^{2x}$; 4) $4^x=3^{x/2}$. 213) 1) $9^x-4\cdot3^x+3=0$; 2) $16^x-17\cdot4^x+16=0$; 3) $25^x-6\cdot5^x+5=0$; 4) $64^x-8^x-56=0$. 214) 1) $3^{x^2+x-12}=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $2^{\frac{x-1}{x-2}}=4$; 4) $0{,}5^{1/x}=4^{1/(x+1)}$.

Accepted Answer

Решения показанных уравнений:

208.

Так как основание 4 не равно 1, показатель равен нулю: $x-1=0$, откуда $x=1$.
Основание $0{,}3$ положительно и не равно 1, значит $3x-2=0$, откуда $x=\frac23$.
Основания равны, поэтому $2x=4\sqrt3$, откуда $x=2\sqrt3$.
Основания одинаковы и не равны 1: $3x=-2$, поэтому $x=-\frac23$.

209.

$27=3^3$, $\frac13=3^{-1}$. Тогда $3x=-1$, следовательно, $x=-\frac13$.
$400=20^2$, $\frac1{20}=20^{-1}$. Поэтому $2x=-1$, и $x=-\frac12$.
$\left(\frac15\right)^x=5^{-x}=5^2$, значит $-x=2$, откуда $x=-2$.
$\frac1{81}=3^{-4}=\left(\frac13\right)^4$, поэтому $x=4$.

210.

$3\cdot9^x=3^4$, а $9^x=3^{2x}$. Получаем $1+2x=4$, откуда $x=\frac32$.
$4^x=32=2^5$, то есть $2^{2x}=2^5$. Следовательно, $x=\frac52$.
По свойству степеней $3^{x+\frac12}3^{x-2}=3^{2x-\frac32}=1$. Значит, $2x-\frac32=0$, и $x=\frac34$.
Складываем показатели: $0{,}5^{8-x}=0{,}5^{-1}$. Поэтому $8-x=-1$, откуда $x=9$.
Приравниваем показатели основания $0{,}6$: $x+3=2x-5$. Следовательно, $x=8$.
Запишем обе части как степени основания 6: $6^{3x-1}=6^{1-2x}$. Тогда $3x-1=1-2x$, откуда $x=\frac25$.

211.

$3^{2x-1}+3^{2x}=\frac13\cdot3^{2x}+3^{2x}=108$. Значит, $\frac43\cdot3^{2x}=108$, откуда $3^{2x}=81=3^4$, поэтому $x=2$.
Вынесем $2^{3x-2}$: $2^{3x-2}(16-1)=30$. Тогда $2^{3x-2}=2$, следовательно, $3x-2=1$, и $x=1$.
Пусть $t=2^x$. Тогда $2t+\frac12t+t=28$, то есть $\frac72t=28$, откуда $t=8=2^3$. Поэтому $x=3$.
Положим $t=3^x$. Тогда $\frac{t}{3}-t+3t=63$, то есть $\frac73t=63$. Получаем $t=27=3^3$, следовательно, $x=3$.

212.

$5^x=8^x$ даёт $\left(\frac58\right)^x=1$. Поскольку основание не равно 1, $x=0$.
Основания $\frac12$ и $\frac13$ различны, но положительны и не равны 1. Равенство возможно при $x=0$, когда обе степени равны 1.
$5^{2x}=25^x$, поэтому $3^x=25^x$, или $\left(\frac3{25}\right)^x=1$. Отсюда $x=0$.
$4^x=2^{2x}$, а $3^{x/2}=(\sqrt3)^x$. Основания $4$ и $\sqrt3$ разные и положительные, значит равенство возможно только при $x=0$.

213.

Пусть $t=3^x>0$. Тогда $t^2-4t+3=0$, откуда $(t-1)(t-3)=0$. Значит, $3^x=1$ или $3^x=3$, поэтому $x=0$ или $x=1$.
Пусть $t=4^x>0$. Получаем $t^2-17t+16=0=(t-1)(t-16)$. Отсюда $4^x=1$ или $4^x=16$, значит $x=0$ или $x=2$.
Пусть $t=5^x>0$. Тогда $t^2-6t+5=0=(t-1)(t-5)$. Следовательно, $x=0$ или $x=1$.
Пусть $t=8^x>0$. Так как $64^x=(8^x)^2$, имеем $t^2-t-56=0=(t-8)(t+7)$. Положительное значение $t=8$, поэтому $x=1$.

214.

Основание 3 не равно 1, поэтому $x^2+x-12=0$. Факторизация: $(x+4)(x-3)=0$. Ответ: $x=-4$ или $x=3$.
Показатель должен быть равен нулю: $x^2-7x+10=0=(x-2)(x-5)$. Значит, $x=2$ или $x=5$.
Область допустимых значений: $x\ne2$. Поскольку $4=2^2$, приравниваем показатели: $\frac{x-1}{x-2}=2$. Тогда $x-1=2x-4$, откуда $x=3$; значение допустимо.
ОДЗ: $x\ne0$, $x\ne-1$. Перепишем основания как степени двойки: $2^{-1/x}=2^{2/(x+1)}$. Тогда $-\frac1x=\frac2{x+1}$, откуда $-(x+1)=2x$, $x=-\frac13$. Это значение допустимо.

Ответ: 208) 1) 1; 2) $\frac23$; 3) $2\sqrt3$; 4) $-\frac23$. 209) 1) $-\frac13$; 2) $-\frac12$; 3) $-2$; 4) 4. 210) 1) $\frac32$; 2) $\frac52$; 3) $\frac34$; 4) 9; 5) 8; 6) $\frac25$. 211) 1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) 3. 212) Во всех четырёх уравнениях $x=0$. 213) 1) 0, 1; 2) 0, 2; 3) 0, 1; 4) 1. 214) 1) $-4, 3$; 2) 2, 5; 3) 3; 4) $-\frac13$.

На фотографии видны только номера 208–214; задания 215–223 не представлены.