Решить уравнение 656. 3) √2 cos(2x+π/4)+1=0

Решение:

3) \( \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0 \)

\( \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -1 \)

\( \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Общее решение для \( \cos(y) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) есть \( y = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Таким образом, \( 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \) или \( 2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \).

Из первого уравнения: \( 2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) \( \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k \).

Из второго уравнения: \( 2x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi k = -\pi + 2\pi k \) \( \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + \pi k \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).