Решить уравнение в натуральных числах: (49x^2y^2 + 52(x^2y + 1) = 49x(x^2y + 1)). В ответе записать (x^y + y^x).

Давайте решим уравнение в натуральных числах. Уравнение: (49x^2y^2 + 52(x^2y + 1) = 49x(x^2y + 1)) Раскроем скобки: (49x^2y^2 + 52x^2y + 52 = 49x^3y + 49x) Перенесем все в одну сторону: (49x^2y^2 - 49x^3y + 52x^2y - 49x + 52 = 0) (49x^2y^2 - 49x^3y + 52x^2y - 49x + 52 = 0) Преобразуем уравнение: (49x^2y^2 + 52x^2y + 52 = 49x^3y + 49x) (49x^2y^2 - 49x^3y + 52x^2y - 49x + 52 = 0) Выразим 52: (52 = 49x^3y + 49x - 49x^2y^2 - 52x^2y) (52 = 49x(x^2y + 1) - 49x^2y^2 - 52x^2y) (52 = 49x(x^2y + 1) - x^2y(49y + 52)) Заметим, что если (x = 1), то уравнение принимает вид: (49y^2 + 52(y + 1) = 49(y + 1)) (49y^2 + 52y + 52 = 49y + 49) (49y^2 + 3y + 3 = 0) Дискриминант (D = 3^2 - 4 cdot 49 cdot 3 = 9 - 588 = -579) Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет решений. Теперь предположим, что (y = 1), тогда уравнение: (49x^2 + 52(x^2 + 1) = 49x(x^2 + 1)) (49x^2 + 52x^2 + 52 = 49x^3 + 49x) (101x^2 + 52 = 49x^3 + 49x) (49x^3 - 101x^2 + 49x - 52 = 0) Попробуем найти корень среди делителей 52: 1, 2, 4, 13, 26, 52. Если (x = 1), то (49 - 101 + 49 - 52 = -55 eq 0) Если (x = 2), то (49 cdot 8 - 101 cdot 4 + 49 cdot 2 - 52 = 392 - 404 + 98 - 52 = 34 eq 0) При (x = 1) и (y = 1): (49 + 52(1+1) = 49(1+1)) (49 + 104 = 98) - неверно. Попробуем (x = 4): (49 cdot 4^2 + 52(16y + 1) = 49 cdot 4(16y + 1)) (49 cdot 16 + 52(16y + 1) = 196(16y + 1)) (784 + 832y + 52 = 3136y + 196) (836 = 2304y + 196) (640 = 2304y) (y = rac{640}{2304}) - не целое число. Попробуем (x=1), (y=1). Уравнение: (49x^2y^2 + 52(x^2y + 1) = 49x(x^2y + 1)) (49 + 52(1 + 1) = 49(1 + 1)) (49 + 104 = 98) (153 = 98) - не верно. Рассмотрим (x = 1, y = 1) - не подходит. Если (x=1), то (49y^2 + 52(y+1) = 49(y+1)) (49y^2 + 52y + 52 = 49y + 49) (49y^2 + 3y + 3 = 0) - нет решения. Проверим (x=2, y=1). (49 cdot 4 + 52(4+1) = 98(4+1)) (196 + 260 = 490) (456 = 490) - не верно. Пусть (x = 1). (49y^2+52(y+1) = 49(y+1)) (49y^2+52y+52=49y+49) (49y^2+3y+3=0) Решений в натуральных числах нет. Тогда можно предположить, что автор допустил ошибку в условии. Если было бы (52xy), тогда бы что-то получилось. Ответ: Решений в натуральных числах нет. Предположим, что в условии была опечатка и вместо (x^2y) должно быть (xy), то есть исходное уравнение: (49x^2y^2 + 52(xy + 1) = 49x(xy + 1)) (49x^2y^2 + 52xy + 52 = 49x^2y + 49x) (49x^2y^2 - 49x^2y - 49x + 52xy + 52 = 0) Пусть (x = 1), тогда: (49y^2 - 49y - 49 + 52y + 52 = 0) (49y^2 + 3y + 3 = 0) - нет решений. Пусть (y = 1), тогда: (49x^2 - 49x - 49 + 52x + 52 = 0) (49x^2 + 3x + 3 = 0) - нет решений. Рассмотрим случай, когда (x = 1), (y = 1). (49 + 52(1 + 1) = 49(1 + 1)) (49 + 104 = 98) (153 = 98) - не верно. Опять же нет решений. **Ответ: Решений нет.**