Решить уравнение: (16x^2 + 64x + 64 = (x - 16)^2)

Привет, ученики! Давайте решим это уравнение вместе. **Шаг 1: Раскроем скобки в правой части уравнения.** Мы знаем, что ((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2). Применим это к правой части уравнения: ((x - 16)^2 = x^2 - 2 * x * 16 + 16^2 = x^2 - 32x + 256) Теперь наше уравнение выглядит так: (16x^2 + 64x + 64 = x^2 - 32x + 256) **Шаг 2: Перенесем все члены уравнения в левую часть.** Чтобы это сделать, вычтем (x^2), прибавим (32x) и вычтем (256) из обеих частей уравнения: (16x^2 - x^2 + 64x + 32x + 64 - 256 = 0) **Шаг 3: Упростим уравнение.** (15x^2 + 96x - 192 = 0) **Шаг 4: Сократим уравнение, разделив все члены на 3.** (5x^2 + 32x - 64 = 0) **Шаг 5: Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта.** Уравнение имеет вид (ax^2 + bx + c = 0), где (a = 5), (b = 32), (c = -64). Дискриминант (D) вычисляется по формуле: (D = b^2 - 4ac) (D = 32^2 - 4 * 5 * (-64) = 1024 + 1280 = 2304) Так как (D > 0), у нас будет два различных решения. Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле: (x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}) (x_1 = \frac{-32 + \sqrt{2304}}{2 * 5} = \frac{-32 + 48}{10} = \frac{16}{10} = 1.6) (x_2 = \frac{-32 - \sqrt{2304}}{2 * 5} = \frac{-32 - 48}{10} = \frac{-80}{10} = -8) **Шаг 6: Заполним пропуски** Попробуем другой способ решения, чтобы заполнить пропуски в задании. (16x^2 + 64x + 64 = (x - 16)^2) Заметим, что (16x^2 + 64x + 64) можно представить как (16(x^2 + 4x + 4)), что равно (16(x + 2)^2) или ((4(x+2))^2), то есть ((4x+8)^2). Таким образом, уравнение можно переписать как: ((4x + 8)^2 = (x - 16)^2) Извлечем квадратный корень из обеих частей: (4x + 8 = \pm (x - 16)) Случай 1: (4x + 8 = x - 16) (4x - x = -16 - 8) (3x = -24) (x = -8) Случай 2: (4x + 8 = -(x - 16)) (4x + 8 = -x + 16) (4x + x = 16 - 8) (5x = 8) (x = \frac{8}{5} = 1.6) **Заполнение пропусков:** ((4x + 8)^2 = (x - 16)^2) (4x + 8 = x - 16) или (4x + 8 = -x + 16) Для первого случая: (4x + 8 = x - 16) (3x = -24) (x = -8) Для второго случая: (4x + 8 = -x + 16) (5x = 8) (x = 1.6) В ответе нужно записать наименьшее число, то есть -8. **Ответ:** -8 Поздравляю! Мы успешно решили это уравнение. Самое главное - внимательность и аккуратность в вычислениях. Не забывайте проверять свои ответы, подставляя их в исходное уравнение.