Решить уравнение:$$\frac{1}{x^2 - x + 2} + \frac{2}{x^2 - x - 14} = \frac{1}{8}$$

Давайте решим данное уравнение по шагам. **1. Введем замену переменной:** Пусть $$t = x^2 - x$$. Тогда уравнение примет вид: $$\frac{1}{t + 2} + \frac{2}{t - 14} = \frac{1}{8}$$ **2. Умножим обе части уравнения на $$8(t+2)(t-14)$$ для избавления от знаменателей:** $$8(t-14) + 16(t+2) = (t+2)(t-14)$$ **3. Раскроем скобки и упростим:** $$8t - 112 + 16t + 32 = t^2 - 14t + 2t - 28$$ $$24t - 80 = t^2 - 12t - 28$$ **4. Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:** $$0 = t^2 - 12t - 28 - 24t + 80$$ $$0 = t^2 - 36t + 52$$ **5. Решим квадратное уравнение $$t^2 - 36t + 52 = 0$$.** Можно воспользоваться формулой дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = -36$$, $$c = 52$$. $$D = (-36)^2 - 4(1)(52) = 1296 - 208 = 1088$$ Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два различных корня. **6. Найдем корни $$t_1$$ и $$t_2$$:** $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 \pm \sqrt{1088}}{2} = \frac{36 \pm 8\sqrt{17}}{2} = 18 \pm 4\sqrt{17}$$ Итак, $$t_1 = 18 + 4\sqrt{17}$$ и $$t_2 = 18 - 4\sqrt{17}$$. **7. Вернемся к исходной переменной $$x$$, используя замену $$t = x^2 - x$$:** *Случай 1*: $$x^2 - x = 18 + 4\sqrt{17}$$ $$x^2 - x - (18 + 4\sqrt{17}) = 0$$ Используем формулу для корней квадратного уравнения: $$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(18 + 4\sqrt{17})}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 72 + 16\sqrt{17}}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{73 + 16\sqrt{17}}}{2}$$ Значит, $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{73 + 16\sqrt{17}}}{2}$$ и $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{73 + 16\sqrt{17}}}{2}$$ *Случай 2*: $$x^2 - x = 18 - 4\sqrt{17}$$ $$x^2 - x - (18 - 4\sqrt{17}) = 0$$ $$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(18 - 4\sqrt{17})}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 72 - 16\sqrt{17}}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{73 - 16\sqrt{17}}}{2}$$ Значит, $$x_3 = \frac{1 + \sqrt{73 - 16\sqrt{17}}}{2}$$ и $$x_4 = \frac{1 - \sqrt{73 - 16\sqrt{17}}}{2}$$ **8. Запишем корни уравнения:** $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{73 + 16\sqrt{17}}}{2}$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{73 + 16\sqrt{17}}}{2}$$ $$x_3 = \frac{1 + \sqrt{73 - 16\sqrt{17}}}{2}$$ $$x_4 = \frac{1 - \sqrt{73 - 16\sqrt{17}}}{2}$$ **Ответы:** $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{73 + 16\sqrt{17}}}{2}$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{73 + 16\sqrt{17}}}{2}$$ $$x_3 = \frac{1 + \sqrt{73 - 16\sqrt{17}}}{2}$$ $$x_4 = \frac{1 - \sqrt{73 - 16\sqrt{17}}}{2}$$