Решить уравнения: 1) \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \); 2) \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \); 3) \( \text{tg} x = 1 \); 4) \( (\text{tg} x - 1)(\text{tg} x + \sqrt{3}) = 0 \); 5) \( 3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0 \); 6) \( 3 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0 \).

Решение:

1. \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Общий вид корней: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2. \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Общий вид корней: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

3. \( \text{tg} x = 1 \)

Общий вид корней: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).

4. \( (\text{tg} x - 1)(\text{tg} x + \sqrt{3}) = 0 \)

Это уравнение распадается на два: \( \text{tg} x - 1 = 0 \) или \( \text{tg} x + \sqrt{3} = 0 \).

Из \( \text{tg} x - 1 = 0 \) следует \( \text{tg} x = 1 \), тогда \( x = \frac{\pi}{4} + \pi p \), где \( p \in \mathbb{Z} \).

Из \( \text{tg} x + \sqrt{3} = 0 \) следует \( \text{tg} x = -\sqrt{3} \), тогда \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi q \), где \( q \in \mathbb{Z} \).

5. \( 3 \sin^2 x - 5 \sin x - 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Пусть \( y = \sin x \). Тогда \( 3y^2 - 5y - 2 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \).

Корни: \( y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5+7}{6} = 2 \) и \( y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5-7}{6} = -\frac{1}{3} \).

Так как \( y = \sin x \), то \( \sin x = 2 \) не имеет решений, так как \( \sin x \in [-1; 1] \).

Решаем \( \sin x = -\frac{1}{3} \).

Общий вид корней: \( x = (-1)^r \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi r \), где \( r \in \mathbb{Z} \).

6. \( 3 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0 \)

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

\( 3(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \)

\( 3 - 3\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \)

\( -3\sin^2 x - \sin x + 2 = 0 \)

\( 3\sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Пусть \( z = \sin x \). Тогда \( 3z^2 + z - 2 = 0 \).

Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \).

Корни: \( z_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1+5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) и \( z_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1-5}{6} = -1 \).

Решаем \( \sin x = \frac{2}{3} \).

Общий вид корней: \( x = (-1)^s \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi s \), где \( s \in \mathbb{Z} \).

Решаем \( \sin x = -1 \).

Общий вид корней: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi t \), где \( t \in \mathbb{Z} \).

Ответ: 1) \( x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \); 2) \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \); 3) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi m \), \( m \in \mathbb{Z} \); 4) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi p \) и \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi q \), \( p, q \in \mathbb{Z} \); 5) \( x = (-1)^r \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi r \), \( r \in \mathbb{Z} \); 6) \( x = (-1)^s \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi s \) и \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi t \), \( s, t \in \mathbb{Z} \).