Вычислить cosa, tga, ctga, cos2a если sina = 4/5 и π/2 < α < π.

Решение:

Так как \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \), угол \( \alpha \) находится во второй четверти. В этой четверти \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \text{tg} \alpha < 0 \), \( \text{ctg} \alpha < 0 \).

1. Найдем \( \cos \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству:

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \]

\[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5} \]

Так как \( \alpha \) во второй четверти, \( \cos \alpha = -\frac{3}{5} \).

2. Найдем \( \text{tg} \alpha \):

\[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \]

3. Найдем \( \text{ctg} \alpha \):

\[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]

4. Найдем \( \cos 2\alpha \) по формуле двойного угла:

\[ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25} \]

Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{3}{5}, \ \text{tg} \alpha = -\frac{4}{3}, \ \text{ctg} \alpha = -\frac{3}{4}, \ \cos 2\alpha = -\frac{7}{25} \).