6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: a) 2sin2x = 1; 6) 2cos²x + cosx − 3 = 0; B) 3tg2x + tgx - 2 = 0; r) 2cos2x + 3sinx = 0;.

Ответ: Решение ниже

a) 2sin²x = 1

sin²x = \frac{1}{2}

sinx = ± \frac{\sqrt{2}}{2}

x = ± \frac{π}{4} + πk

x = \frac{π}{4} + πk, x = - \frac{π}{4} + πk, k ∈ Z

б) 2cos²x + cosx − 3 = 0

Пусть cosx = t, тогда 2t² + t - 3 = 0

D = 1² - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25

t₁ = \frac{-1 + 5}{4} = 1

t₂ = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2}

cosx = 1 => x = 2πk, k ∈ Z

cosx = -\frac{3}{2} - нет решений, т.к. |cosx| ≤ 1

в) 3tg²x + tgx - 2 = 0

Пусть tgx = t, тогда 3t² + t - 2 = 0

D = 1² - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25

t₁ = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3}

t₂ = \frac{-1 - 5}{6} = -1

tgx = \frac{2}{3} => x = arctg(\frac{2}{3}) + πk, k ∈ Z

tgx = -1 => x = -\frac{π}{4} + πk, k ∈ Z

г) 2cos2x + 3sinx = 0

2(1 - 2sin²x) + 3sinx = 0

2 - 4sin²x + 3sinx = 0

4sin²x - 3sinx - 2 = 0

Пусть sinx = t, тогда 4t² - 3t - 2 = 0

D = (-3)² - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 9 + 32 = 41

t₁ = \frac{3 + \sqrt{41}}{8}

t₂ = \frac{3 - \sqrt{41}}{8}

sinx = \frac{3 + \sqrt{41}}{8} - нет решений, т.к. sinx > 1

sinx = \frac{3 - \sqrt{41}}{8} => x = arcsin(\frac{3 - \sqrt{41}}{8}) + 2πk, x = π - arcsin(\frac{3 - \sqrt{41}}{8}) + 2πk, k ∈ Z

Ответ: a) x = \frac{π}{4} + πk, x = - \frac{π}{4} + πk, k ∈ Z; б) x = 2πk, k ∈ Z; в) x = arctg(\frac{2}{3}) + πk, x = -\frac{π}{4} + πk, k ∈ Z; г) x = arcsin(\frac{3 - \sqrt{41}}{8}) + 2πk, x = π - arcsin(\frac{3 - \sqrt{41}}{8}) + 2πk, k ∈ Z