Решить задачи 3-6: 3. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=84°. Длина меньшей дуги AB равна 70. Найдите длину большей дуги. 4. Найдите площадь квадрата, около которого описана окружность радиуса 6. 5. Сторона равностороннего треугольника равна $$10\sqrt{3}$$. Найдите его биссектрису. 6. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28.

Задача 3:

Угол AOB равен 84 градуса. Длина меньшей дуги AB равна 70. Нужно найти длину большей дуги.

Вся окружность составляет 360 градусов. Меньшая дуга соответствует углу 84 градуса. Большая дуга, следовательно, соответствует углу 360 - 84 = 276 градусов.

Составим пропорцию:

$$ \frac{70}{84} = \frac{x}{276} $$

Решим пропорцию:

$$ x = \frac{70 \cdot 276}{84} = \frac{19320}{84} = 230 $$

Ответ: 230

Задача 4:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 6. Нужно найти площадь квадрата.

Диагональ квадрата равна двум радиусам описанной окружности, то есть $$d = 2 \cdot 6 = 12$$.

Площадь квадрата можно найти по формуле $$S = \frac{d^2}{2}$$, где d - диагональ квадрата.

Тогда площадь квадрата равна $$S = \frac{12^2}{2} = \frac{144}{2} = 72$$.

Ответ: 72

Задача 5:

Сторона равностороннего треугольника равна $$10\sqrt{3}$$. Найдите его биссектрису.

В равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой и высотой. Высоту можно найти по формуле $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$, где a - сторона треугольника.

Тогда биссектриса равна $$h = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$$.

Ответ: 15

Задача 6:

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28.

Так как MN || AC, то треугольники ABC и MBN подобны. Значит, соответствующие стороны пропорциональны.

$$ \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} $$

Мы знаем, что BC = BN + NC. Тогда BN = BC - NC. Подставим это в пропорцию:

$$ \frac{BN}{BN + NC} = \frac{MN}{AC} $$ $$ \frac{BN}{BN + 28} = \frac{13}{65} $$

Упростим дробь справа: $$ \frac{13}{65} = \frac{1}{5} $$.

$$ \frac{BN}{BN + 28} = \frac{1}{5} $$

Решим пропорцию:

$$ 5 \cdot BN = BN + 28 $$ $$ 4 \cdot BN = 28 $$ $$ BN = 7 $$

Ответ: 7