Решить задачи (записать краткое решение). 1. В четырёхугольнике ABCD AB = CD, BC = AD, ∠A = 30°. На стороне BC взята точка E так, что ∠CDE = 60°. Докажите, что четырёхугольник ABED является прямоугольной трапецией.

Из равенств противоположных сторон следует, что ABCD — параллелограмм. Поэтому AB ∥ CD, AD ∥ BC, а соседние углы в сумме равны 180°.

Так как ∠A = 30°, то ∠CDA = 180° − 30° = 150°. Луч DE лежит внутри угла CDA, поэтому ∠ADE = ∠CDA − ∠CDE = 150° − 60° = 90°. Значит, AD ⟂ DE.

Точки B и E лежат на BC, следовательно, BE ∥ BC ∥ AD. В четырёхугольнике ABED одна пара противоположных сторон параллельна: BE ∥ AD. Кроме того, AB ⟂ AD, поскольку AB ∥ CD, а полученное условие ∠ADE = 90° само по себе перпендикулярность AB и AD не даёт; однако из ∠A = 30° следует, что угол между AB и AD равен 30°.

Следовательно, при данных условиях четырёхугольник ABED не обязательно является прямоугольной трапецией: для прямого угла требуется AB ⟂ AD или BE ⟂ AD, а ∠A = 30° этому противоречит. Вероятно, в условии опечатка в величине угла.