2. Решить задачу № 257 (один ученик работает у доски, остальные - в тетрадях). Задача № 257 Рис. 4.122. Дано: Δ ABC, ∠C=90°, ∠BAD=120°, AC + AB = 18 см. Найти: АС, АВ.

Решение задачи №257: Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\angle BAD = 120^{\circ}\), \(AC + AB = 18 \text{ см}\). Найти: \(AC\), \(AB\). Решение: 1. Найдем \(\angle CAB\): \(\angle CAB + \angle BAD = 180^{\circ}\) (смежные углы). \(\angle CAB = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\). 2. Найдем \(\angle B\): В \(\triangle ABC\) сумма углов \(180^{\circ}\). \(\angle B = 180^{\circ} - \angle C - \angle CAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\). 3. Обозначим \(AC = x\) см, тогда \(AB = (18 - x)\) см. 4. Используем определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике: \(\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB}\) \(\cos(60^{\circ}) = \frac{x}{18 - x}\) \(\frac{1}{2} = \frac{x}{18 - x}\) 5. Решим уравнение: \(18 - x = 2x\) \(3x = 18\) \(x = 6\) 6. Найдем стороны треугольника: \(AC = x = 6\) см. \(AB = 18 - x = 18 - 6 = 12\) см. Ответ: \(AC = 6\) см, \(AB = 12\) см. **AC = 6 см** **AB = 12 см**