Решить задачу: Даны равнобедренные треугольники с периметром 56. Вычисли стороны того треугольника, у которого площадь наибольшая.

Давайте решим эту задачу вместе. Пусть основание равнобедренного треугольника равно $$a$$, а боковые стороны равны $$b$$. Тогда периметр треугольника равен $$a + 2b = 56$$. Выразим $$a$$ через $$b$$: $$a = 56 - 2b$$. Теперь, чтобы найти площадь треугольника, нам понадобится высота $$h$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. Поэтому она делит основание пополам. По теореме Пифагора: $$h^2 + (a/2)^2 = b^2$$ $$h^2 = b^2 - (a/2)^2$$ $$h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2}$$ Подставим $$a = 56 - 2b$$: $$h = \sqrt{b^2 - ((56 - 2b)/2)^2} = \sqrt{b^2 - (28 - b)^2} = \sqrt{b^2 - (784 - 56b + b^2)} = \sqrt{56b - 784}$$ Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}(56 - 2b)\sqrt{56b - 784} = (28 - b)\sqrt{56b - 784}$$. Для нахождения наибольшей площади нужно найти максимум функции $$S(b)$$. Можно взять производную и приравнять её к нулю, но это довольно сложно. Заметим, что $$56b - 784 = 56(b - 14)$$. Так как $$a > 0$$ и $$h > 0$$, то $$56 - 2b > 0$$ и $$56b - 784 > 0$$, следовательно, $$14 < b < 28$$. Рассмотрим случай, когда треугольник равносторонний. Тогда $$a = b$$, и $$3a = 56$$, $$a = \frac{56}{3} \approx 18.67$$. Это значение $$b$$ находится в интервале $$(14, 28)$$. При $$a = b = \frac{56}{3}$$, $$h = \sqrt{(\frac{56}{3})^2 - (\frac{56}{6})^2} = \sqrt{\frac{56^2}{9} - \frac{56^2}{36}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 56^2}{36}} = \frac{56}{6}\sqrt{3} = \frac{28\sqrt{3}}{3}$$. Тогда $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{56}{3} \cdot \frac{28\sqrt{3}}{3} = \frac{28^2 \sqrt{3}}{9} = \frac{784\sqrt{3}}{9} \approx 150.79$$. Предположим, что для равнобедренного треугольника с периметром 56 наибольшая площадь будет, когда основание равно боковой стороне. Тогда $$a = b = \frac{56}{3}$$. Однако можно показать, что наибольшая площадь достигается, когда $$b = 20$$. В этом случае $$a = 56 - 2(20) = 16$$. Тогда $$h = \sqrt{20^2 - 8^2} = \sqrt{400 - 64} = \sqrt{336} = 4\sqrt{21}$$. Площадь в этом случае $$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 4\sqrt{21} = 32\sqrt{21} \approx 146.97$$. Похоже, наибольшая площадь будет, когда треугольник близок к равностороннему. Чтобы площадь была максимальной, $$a = \frac{56}{3}$$ и $$b = \frac{56}{3}$$. Но нужно записать ответ в виде дроби. Ответ: $$\frac{56}{3}$$, $$\frac{56}{3}$$, $$\frac{56}{3}$$ или в виде десятичной дроби 18,67. Но это не точно. Оптимальное решение можно получить, если воспользоваться calculus: $$S(b) = (28 - b) \sqrt{56b - 784}$$ $$S'(b) = -\sqrt{56b - 784} + (28-b) \frac{56}{2 \sqrt{56b - 784}}$$ $$S'(b) = 0$$ $$-\sqrt{56b - 784} + \frac{(28-b) 28}{\sqrt{56b - 784}} = 0$$ $$-(56b - 784) + (28-b) 28 = 0$$ $$-56b + 784 + 784 - 28b = 0$$ $$-84b = -1568$$ $$b = \frac{1568}{84} = \frac{112}{6} = \frac{56}{3}$$ Итак, мы получили, что $$b = \frac{56}{3}$$, что соответствует равностороннему треугольнику. Тогда, $$a = 56 - 2 \cdot \frac{56}{3} = \frac{168 - 112}{3} = \frac{56}{3}$$. **Ответ: $$\frac{56}{3}$$, $$\frac{56}{3}$$, $$\frac{56}{3}$$**