Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Решить задачу: Известно, что $$AK = KC$$, $$BK = KD$$, $$\angle ABK = 80^\circ$$, $$\angle ADK = 20^\circ$$. Найти $$\angle ADC$$.
Ответ:
- $$\angle BAK = \angle BCK$$ (т.к. $$\triangle ABK = \triangle CDK$$ по двум сторонам и углу между ними: $$AK = KC$$, $$BK = KD$$, $$\angle AKB = \angle CKD$$ как вертикальные).
- $$\angle KAD = \angle KCB$$ (т.к. $$\triangle AKD = \triangle CKB$$ по двум сторонам и углу между ними: $$AK = KC$$, $$KD = KB$$, $$\angle AKD = \angle CKB$$ как вертикальные).
- $$\angle ABK = \angle CDK = 80^\circ$$.
- $$\angle ADK = \angle CBK = 20^\circ$$.
- $$\angle AKB = \angle CKD$$ (как вертикальные).
- $$\angle DAK = \angle BCK$$.
- $$\angle KAD = \angle KCB$$.
- $$\angle ABK = \angle CDK = 80^\circ$$.
- $$\angle ADK = \angle CBK = 20^\circ$$.
- $$\angle BAK = 180^\circ - 80^\circ - \angle AKB = 100^\circ - \angle AKB$$.
- $$\angle KAD = 180^\circ - 20^\circ - \angle AKD = 160^\circ - \angle AKD = 160^\circ - \angle AKB$$.
- $$\angle BAD = \angle BAK + \angle KAD = (100^\circ - \angle AKB) + (160^\circ - \angle AKB) = 260^\circ - 2 \cdot \angle AKB$$.
- $$\angle BCD = \angle BCK + \angle KCD = \angle DAK + \angle ABK = (160^\circ - \angle AKB) + (100^\circ - \angle AKB) = 260^\circ - 2 \cdot \angle AKB$$.
- $$\angle ABC = \angle CBK + \angle ABK = 20^\circ + 80^\circ = 100^\circ$$.
- $$\angle ADC = \angle ADK + \angle CDK = 20^\circ + 80^\circ = 100^\circ$$.
- $$\angle BAD + \angle BCD + \angle ABC + \angle ADC = 360^\circ$$ (сумма углов четырехугольника).
- $$(260^\circ - 2 \cdot \angle AKB) + (260^\circ - 2 \cdot \angle AKB) + 100^\circ + 100^\circ = 360^\circ$$.
- $$720^\circ - 4 \cdot \angle AKB = 360^\circ$$.
- $$4 \cdot \angle AKB = 360^\circ$$.
- $$\angle AKB = 90^\circ$$.
- $$\angle DAK = 160^\circ - 90^\circ = 70^\circ$$.
- $$\angle BAK = 100^\circ - 90^\circ = 10^\circ$$.
- $$\angle CAD = \angle KAD - \angle KAC = 70^\circ - 10^\circ = 60^\circ$$.
- $$\angle DAC = \angle BCA$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AC$$.
- $$\angle ADC = 100^\circ$$
Похожие
