Решите биквадратное уравнение: a) $$4u^4 = 68u^2 - 64$$ б) $$-3y^4 + 7y^2 = 10$$ в) $$25z^4 = -20z^2 - 4$$ г) $$9k^4 + 9 = 18k^2$$ д) $$5r^4 + 6r^2 = 8$$ e) $$4s^4 + 2 = 6s^2$$

Решим биквадратные уравнения:

1. a) $$4u^4 = 68u^2 - 64$$

   Перенесем все в левую часть уравнения:

   $$4u^4 - 68u^2 + 64 = 0$$

   Разделим обе части уравнения на 4:

   $$u^4 - 17u^2 + 16 = 0$$

   Введем замену $$t = u^2$$, тогда $$t^2 = u^4$$. Получаем квадратное уравнение относительно $$t$$:

   $$t^2 - 17t + 16 = 0$$

   Найдем дискриминант:

   $$D = (-17)^2 - 4 cdot 1 cdot 16 = 289 - 64 = 225$$

   Найдем корни квадратного уравнения:

   $$t_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2} = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

   $$t_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

   Вернемся к замене $$u^2 = t$$:

   $$u^2 = 16$$ или $$u^2 = 1$$

   Из $$u^2 = 16$$ следует $$u = \pm 4$$

   Из $$u^2 = 1$$ следует $$u = \pm 1$$

   Ответ: $$u_1 = -4, u_2 = -1, u_3 = 1, u_4 = 4$$

2. б) $$-3y^4 + 7y^2 = 10$$

   Перенесем все в левую часть уравнения:

   $$-3y^4 + 7y^2 - 10 = 0$$

   Умножим обе части уравнения на -1:

   $$3y^4 - 7y^2 + 10 = 0$$

   Введем замену $$t = y^2$$, тогда $$t^2 = y^4$$. Получаем квадратное уравнение относительно $$t$$:

   $$3t^2 - 7t + 10 = 0$$

   Найдем дискриминант:

   $$D = (-7)^2 - 4 cdot 3 cdot 10 = 49 - 120 = -71$$

   Т.к. дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

   Ответ: Действительных решений нет.

3. в) $$25z^4 = -20z^2 - 4$$

   Перенесем все в левую часть уравнения:

   $$25z^4 + 20z^2 + 4 = 0$$

   Введем замену $$t = z^2$$, тогда $$t^2 = z^4$$. Получаем квадратное уравнение относительно $$t$$:

   $$25t^2 + 20t + 4 = 0$$

   Заметим, что левая часть уравнения - это полный квадрат:

   $$(5t + 2)^2 = 0$$

   Тогда $$5t + 2 = 0$$

   $$5t = -2$$

   $$t = -\frac{2}{5}$$

   Вернемся к замене $$z^2 = t$$:

   $$z^2 = -\frac{2}{5}$$

   Т.к. квадрат числа не может быть отрицательным, то уравнение не имеет действительных корней.

   Ответ: Действительных решений нет.

4. г) $$9k^4 + 9 = 18k^2$$

   Перенесем все в левую часть уравнения:

   $$9k^4 - 18k^2 + 9 = 0$$

   Разделим обе части уравнения на 9:

   $$k^4 - 2k^2 + 1 = 0$$

   Введем замену $$t = k^2$$, тогда $$t^2 = k^4$$. Получаем квадратное уравнение относительно $$t$$:

   $$t^2 - 2t + 1 = 0$$

   Заметим, что левая часть уравнения - это полный квадрат:

   $$(t - 1)^2 = 0$$

   Тогда $$t - 1 = 0$$

   $$t = 1$$

   Вернемся к замене $$k^2 = t$$:

   $$k^2 = 1$$

   Следовательно $$k = \pm 1$$

   Ответ: $$k_1 = -1, k_2 = 1$$

5. д) $$5r^4 + 6r^2 = 8$$

   Перенесем все в левую часть уравнения:

   $$5r^4 + 6r^2 - 8 = 0$$

   Введем замену $$t = r^2$$, тогда $$t^2 = r^4$$. Получаем квадратное уравнение относительно $$t$$:

   $$5t^2 + 6t - 8 = 0$$

   Найдем дискриминант:

   $$D = 6^2 - 4 cdot 5 cdot (-8) = 36 + 160 = 196$$

   Найдем корни квадратного уравнения:

   $$t_1 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 cdot 5} = \frac{-6 + 14}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$

   $$t_2 = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 cdot 5} = \frac{-6 - 14}{10} = \frac{-20}{10} = -2$$

   Вернемся к замене $$r^2 = t$$:

   $$r^2 = \frac{4}{5}$$ или $$r^2 = -2$$

   Из $$r^2 = \frac{4}{5}$$ следует $$r = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

   Из $$r^2 = -2$$ следует, что действительных корней нет, т.к. квадрат числа не может быть отрицательным.

   Ответ: $$r_1 = -\frac{2\sqrt{5}}{5}, r_2 = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

6. e) $$4s^4 + 2 = 6s^2$$

   Перенесем все в левую часть уравнения:

   $$4s^4 - 6s^2 + 2 = 0$$

   Разделим обе части уравнения на 2:

   $$2s^4 - 3s^2 + 1 = 0$$

   Введем замену $$t = s^2$$, тогда $$t^2 = s^4$$. Получаем квадратное уравнение относительно $$t$$:

   $$2t^2 - 3t + 1 = 0$$

   Найдем дискриминант:

   $$D = (-3)^2 - 4 cdot 2 cdot 1 = 9 - 8 = 1$$

   Найдем корни квадратного уравнения:

   $$t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

   $$t_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

   Вернемся к замене $$s^2 = t$$:

   $$s^2 = 1$$ или $$s^2 = \frac{1}{2}$$

   Из $$s^2 = 1$$ следует $$s = \pm 1$$

   Из $$s^2 = \frac{1}{2}$$ следует $$s = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Ответ: $$s_1 = -1, s_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}, s_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}, s_4 = 1$$