Решите биквадратное уравнение: x⁴ + x² - 2 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной, чтобы свести его к квадратному.

1. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 + y - 2 = 0 \).
2. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).
3. Найдем корни \( y \): \( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \).
4. Вернемся к замене \( x^2 = y \).
5. Для \( y_1 = 1 \): \( x^2 = 1 \), откуда \( x = \pm 1 \).
6. Для \( y_2 = -2 \): \( x^2 = -2 \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -1