Решение биквадратных уравнений

a) Решим уравнение $$x^4 - 5x^2 - 36 = 0$$.

Введем замену $$z = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$z^2 - 5z - 36 = 0$$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = (-5)^2 - 4 cdot 1 cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$.

Найдем корни: $$z_1 = rac{5 + sqrt{169}}{2} = rac{5 + 13}{2} = 9$$ и $$z_2 = rac{5 - sqrt{169}}{2} = rac{5 - 13}{2} = -4$$.

Вернемся к замене: $$x^2 = 9$$ или $$x^2 = -4$$.

Из $$x^2 = 9$$ получаем $$x = pm 3$$. Уравнение $$x^2 = -4$$ не имеет действительных решений.

Ответ: $$x = -3, x = 3$$.

б) Решим уравнение $$y^4 - 6y^2 + 8 = 0$$.

Введем замену $$z = y^2$$, тогда уравнение примет вид: $$z^2 - 6z + 8 = 0$$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = (-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 8 = 36 - 32 = 4$$.

Найдем корни: $$z_1 = rac{6 + sqrt{4}}{2} = rac{6 + 2}{2} = 4$$ и $$z_2 = rac{6 - sqrt{4}}{2} = rac{6 - 2}{2} = 2$$.

Вернемся к замене: $$y^2 = 4$$ или $$y^2 = 2$$.

Из $$y^2 = 4$$ получаем $$y = pm 2$$. Из $$y^2 = 2$$ получаем $$y = pm sqrt{2}$$.

Ответ: $$y = -2, y = 2, y = -sqrt{2}, y = sqrt{2}$$.

в) Решим уравнение $$t^4 + 10t^2 + 25 = 0$$.

Введем замену $$z = t^2$$, тогда уравнение примет вид: $$z^2 + 10z + 25 = 0$$.

Заметим, что это полный квадрат: $$(z + 5)^2 = 0$$. Следовательно, $$z = -5$$.

Вернемся к замене: $$t^2 = -5$$.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Нет действительных решений.