Решите биквадратные уравнения:

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами будем решать биквадратные уравнения. Биквадратным уравнением называется уравнение вида $$ax^4 + bx^2 + c = 0$$. Для решения таких уравнений обычно вводят новую переменную $$t = x^2$$, и уравнение сводится к квадратному. Давайте разберем каждое уравнение по порядку: 1) $$x^4 - 3x^2 + 2 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 3t + 2 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1$$. $$t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$ $$t_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$ Теперь возвращаемся к замене: $$x^2 = 2$$ или $$x^2 = 1$$ $$x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}, x_3 = 1, x_4 = -1$$ **Ответ: $$x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}, x_3 = 1, x_4 = -1$$** 2) $$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 10t + 9 = 0$$ Дискриминант $$D = (-10)^2 - 4 * 1 * 9 = 100 - 36 = 64$$. $$t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9$$ $$t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2} = \frac{10 - 8}{2} = 1$$ Теперь возвращаемся к замене: $$x^2 = 9$$ или $$x^2 = 1$$ $$x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = 1, x_4 = -1$$ **Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = 1, x_4 = -1$$** 3) $$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 5t + 4 = 0$$ Дискриминант $$D = (-5)^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9$$. $$t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$ Теперь возвращаемся к замене: $$x^2 = 4$$ или $$x^2 = 1$$ $$x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = 1, x_4 = -1$$ **Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = 1, x_4 = -1$$** 4) $$x^4 - 26x^2 + 25 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 26t + 25 = 0$$ Дискриминант $$D = (-26)^2 - 4 * 1 * 25 = 676 - 100 = 576$$. $$t_1 = \frac{26 + \sqrt{576}}{2} = \frac{26 + 24}{2} = 25$$ $$t_2 = \frac{26 - \sqrt{576}}{2} = \frac{26 - 24}{2} = 1$$ Теперь возвращаемся к замене: $$x^2 = 25$$ или $$x^2 = 1$$ $$x_1 = 5, x_2 = -5, x_3 = 1, x_4 = -1$$ **Ответ: $$x_1 = 5, x_2 = -5, x_3 = 1, x_4 = -1$$** 5) $$4x^4 - 41x^2 + 100 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$4t^2 - 41t + 100 = 0$$ Дискриминант $$D = (-41)^2 - 4 * 4 * 100 = 1681 - 1600 = 81$$. $$t_1 = \frac{41 + \sqrt{81}}{8} = \frac{41 + 9}{8} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$$ $$t_2 = \frac{41 - \sqrt{81}}{8} = \frac{41 - 9}{8} = \frac{32}{8} = 4$$ Теперь возвращаемся к замене: $$x^2 = \frac{25}{4}$$ или $$x^2 = 4$$ $$x_1 = \frac{5}{2}, x_2 = -\frac{5}{2}, x_3 = 2, x_4 = -2$$ **Ответ: $$x_1 = \frac{5}{2}, x_2 = -\frac{5}{2}, x_3 = 2, x_4 = -2$$** 6) $$x^4 - 20x^2 + 64 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 20t + 64 = 0$$ Дискриминант $$D = (-20)^2 - 4 * 1 * 64 = 400 - 256 = 144$$. $$t_1 = \frac{20 + \sqrt{144}}{2} = \frac{20 + 12}{2} = 16$$ $$t_2 = \frac{20 - \sqrt{144}}{2} = \frac{20 - 12}{2} = 4$$ Теперь возвращаемся к замене: $$x^2 = 16$$ или $$x^2 = 4$$ $$x_1 = 4, x_2 = -4, x_3 = 2, x_4 = -2$$ **Ответ: $$x_1 = 4, x_2 = -4, x_3 = 2, x_4 = -2$$** В заключение, помните, что биквадратные уравнения сводятся к квадратным с помощью замены переменной. Это позволяет легко найти корни уравнения. Удачи в решении подобных задач!