Решите графически уравнение √x = x-2. Сколько решений имеет уравнение? Введите наименьшее решение уравнения.

Для решения уравнения графическим способом, построим графики функций $$y = \sqrt{x}$$ и $$y = x - 2$$ на одной координатной плоскости.

Сначала рассмотрим функцию $$y = \sqrt{x}$$. Это график квадратного корня, который начинается в точке (0, 0) и возрастает. Область определения: $$x \geq 0$$.

Теперь рассмотрим функцию $$y = x - 2$$. Это прямая линия с угловым коэффициентом 1 и сдвигом вниз на 2 единицы. Для построения прямой достаточно двух точек. Например, если x = 2, то y = 0, и если x = 3, то y = 1.

Графики этих функций пересекаются в одной точке.

Для нахождения решения уравнения аналитическим способом, возведем обе части уравнения в квадрат:

$$ (\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2 $$ $$ x = x^2 - 4x + 4 $$ $$ 0 = x^2 - 5x + 4 $$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

$$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 $$

Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня:

$$ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ $$ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$

Проверим корни:

Для x = 4:

$$ \sqrt{4} = 4 - 2 $$ $$ 2 = 2 $$

Это верное решение.

Для x = 1:

$$ \sqrt{1} = 1 - 2 $$ $$ 1 = -1 $$

Это неверное решение, так как корень не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение имеет одно решение: x = 4.

Графически мы бы увидели, что прямая $$y=x-2$$ пересекает кривую $$y=\sqrt{x}$$ только в одной точке, абсцисса которой равна 4.

Ответ: Уравнение имеет 1 решение. Наименьшее решение уравнения: 4