Решите логарифмические уравнения:

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами решим несколько логарифмических уравнений. Я подробно объясню каждый шаг, чтобы вам было понятно. **1) \(\log_3(3 - 2x) = 2\)** *Шаг 1: Преобразуем логарифмическое уравнение в показательное.* Мы знаем, что \(\log_b(a) = c\) эквивалентно \(b^c = a\). В нашем случае: \[3^2 = 3 - 2x\] *Шаг 2: Упростим уравнение.* \[9 = 3 - 2x\] *Шаг 3: Решим уравнение относительно x.* \[9 - 3 = -2x\]\[6 = -2x\]\[x = -3\] *Шаг 4: Проверим решение. Важно убедиться, что аргумент логарифма положителен.* \[3 - 2(-3) = 3 + 6 = 9 > 0\] Так как \(9 > 0\), решение \(x = -3\) является верным. **Ответ: x = -3** --- **2) \(\log_7(x + 9) = \log_7(5x - 7)\)** *Шаг 1: Используем свойство равенства логарифмов.* Если \(\log_b(a) = \log_b(c)\), то \(a = c\). В нашем случае: \[x + 9 = 5x - 7\] *Шаг 2: Решим уравнение относительно x.* \[9 + 7 = 5x - x\]\[16 = 4x\]\[x = 4\] *Шаг 3: Проверим решение.* \[x + 9 = 4 + 9 = 13 > 0\]\[5x - 7 = 5(4) - 7 = 20 - 7 = 13 > 0\] Так как оба аргумента положительны, решение \(x = 4\) является верным. **Ответ: x = 4** --- **3) \(\log_2(1 - x) + \log_2(3 - x) = 3\)** *Шаг 1: Используем свойство суммы логарифмов.* \(\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac)\) \[\log_2((1 - x)(3 - x)) = 3\] *Шаг 2: Преобразуем логарифмическое уравнение в показательное.* \[2^3 = (1 - x)(3 - x)\]\[8 = 3 - x - 3x + x^2\]\[8 = x^2 - 4x + 3\] *Шаг 3: Решим квадратное уравнение.* \[x^2 - 4x + 3 - 8 = 0\]\[x^2 - 4x - 5 = 0\] Используем теорему Виета или дискриминант. \(D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36\)\[x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4 + 6}{2} = 5\]\[x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4 - 6}{2} = -1\] *Шаг 4: Проверим решения.* Для \(x = 5\): \[1 - x = 1 - 5 = -4 < 0\]\[3 - x = 3 - 5 = -2 < 0\] Так как аргументы логарифмов отрицательны, \(x = 5\) не является решением. Для \(x = -1\): \[1 - x = 1 - (-1) = 2 > 0\]\[3 - x = 3 - (-1) = 4 > 0\] Так как аргументы логарифмов положительны, \(x = -1\) является решением. **Ответ: x = -1** --- **4) \(\log_3^2 x + \log_3 x^2 = 8\)** *Шаг 1: Используем свойство логарифма степени.* \(\log_b(a^n) = n \log_b(a)\) \[\log_3^2 x + 2 \log_3 x = 8\] *Шаг 2: Сделаем замену переменной.* Пусть \(y = \log_3 x\). \[y^2 + 2y = 8\] *Шаг 3: Решим квадратное уравнение.* \[y^2 + 2y - 8 = 0\] Используем теорему Виета или дискриминант. \(D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36\)\[y_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\]\[y_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-2 - 6}{2} = -4\] *Шаг 4: Вернёмся к переменной x.* Для \(y = 2\): \[\log_3 x = 2\]\[x = 3^2 = 9\] Для \(y = -4\): \[\log_3 x = -4\]\[x = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}\] *Шаг 5: Проверим решения.* Для \(x = 9\): \(x > 0\), подходит. Для \(x = \frac{1}{81}\): \(x > 0\), подходит. **Ответ: x = 9, x = \frac{1}{81}** Надеюсь, мои объяснения были понятны! Если у вас есть вопросы, задавайте.