Решите логарифмические уравнения: a). log5 (2x - 4) = 2 б). log2 (x² - 4x + 2) = 1 в). log1/3 (x² +8x) = -2 2. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения, если их несколько: x - 2 = √4 + 2x -x² 3. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите их произведение:

Это задание по алгебре, содержащее логарифмические и иррациональные уравнения.

1. Решите логарифмические уравнения:

a) $$log_5(2x - 4) = 2$$

По определению логарифма: $$2x - 4 = 5^2$$

$$2x - 4 = 25$$

$$2x = 29$$

$$x = \frac{29}{2} = 14.5$$

Проверка: $$log_5(2 \cdot 14.5 - 4) = log_5(29 - 4) = log_5(25) = 2$$

Ответ: $$x = 14.5$$

б) $$log_2(x^2 - 4x + 2) = 1$$

По определению логарифма: $$x^2 - 4x + 2 = 2^1$$

$$x^2 - 4x + 2 = 2$$

$$x^2 - 4x = 0$$

$$x(x - 4) = 0$$

$$x_1 = 0, x_2 = 4$$

Проверка:

$$x_1 = 0: log_2(0 - 0 + 2) = log_2(2) = 1$$

$$x_2 = 4: log_2(4^2 - 4 \cdot 4 + 2) = log_2(16 - 16 + 2) = log_2(2) = 1$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 4$$

в) $$log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 8x) = -2$$

По определению логарифма: $$x^2 + 8x = (\frac{1}{3})^{-2}$$

$$x^2 + 8x = 3^2$$

$$x^2 + 8x = 9$$

$$x^2 + 8x - 9 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 10}{2}$$

$$x_1 = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$

Проверка:

$$x_1 = 1: log_{\frac{1}{3}}(1^2 + 8 \cdot 1) = log_{\frac{1}{3}}(1 + 8) = log_{\frac{1}{3}}(9) = -2$$

$$x_2 = -9: log_{\frac{1}{3}}((-9)^2 + 8 \cdot (-9)) = log_{\frac{1}{3}}(81 - 72) = log_{\frac{1}{3}}(9) = -2$$

Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -9$$

2. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения, если их несколько:

$$x - 2 = \sqrt{4 + 2x - x^2}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(x - 2)^2 = (\sqrt{4 + 2x - x^2})^2$$

$$x^2 - 4x + 4 = 4 + 2x - x^2$$

$$2x^2 - 6x = 0$$

$$2x(x - 3) = 0$$

$$x_1 = 0, x_2 = 3$$

Проверка:

$$x_1 = 0: 0 - 2 = \sqrt{4 + 2 \cdot 0 - 0^2}$$

$$-2 = \sqrt{4}$$

$$-2 = 2$$ (неверно)

$$x_2 = 3: 3 - 2 = \sqrt{4 + 2 \cdot 3 - 3^2}$$

$$1 = \sqrt{4 + 6 - 9}$$

$$1 = \sqrt{1}$$

$$1 = 1$$ (верно)

Ответ: $$x = 3$$