Решите неравенства: a) $$x^2 - 8x + 15 \le 0$$ б) $$x^2 - 9 > 0$$ a) $$(x - 1)(x + 3) \le 0$$ б) $$(x - 2)(x + 5) > 0$$

Решим первое неравенство: $$x^2 - 8x + 15 \le 0$$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $$x^2 - 8x + 15 = 0$$

По теореме Виета, корни равны 3 и 5 (3 + 5 = 8, 3 * 5 = 15). Итак, $$x_1 = 3, x_2 = 5$$.

Теперь решим неравенство методом интервалов. Нарисуем числовую прямую и отметим корни 3 и 5. Знаки будут меняться, так как дискриминант больше нуля.

Определим знаки на интервалах: берем число меньше 3 (например, 0) и подставляем в исходное неравенство: $$0^2 - 8*0 + 15 = 15 \gt 0$$. Значит, слева от 3 знак "+". Дальше знаки чередуются.

Нужно найти интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал между 3 и 5, включая сами точки 3 и 5.

Ответ: $$x \in [3; 5]$$

Решим второе неравенство: $$x^2 - 9 > 0$$

Это разность квадратов, можно разложить на множители: $$(x - 3)(x + 3) > 0$$

Найдем корни: $$x - 3 = 0$$ или $$x + 3 = 0$$, значит, $$x_1 = 3, x_2 = -3$$

Решим неравенство методом интервалов. Отметим корни -3 и 3 на числовой прямой.

Определим знаки на интервалах: возьмем число больше 3 (например, 4): $$(4 - 3)(4 + 3) = 1 * 7 = 7 > 0$$. Значит, справа от 3 знак "+". Дальше знаки чередуются.

Нужно найти интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы слева от -3 и справа от 3.

Ответ: $$x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$$.

Решим третье неравенство: $$(x - 1)(x + 3) \le 0$$

Корни уже найдены: $$x_1 = 1, x_2 = -3$$

Решим методом интервалов. Отметим корни -3 и 1 на числовой прямой.

Определим знаки: возьмем число больше 1 (например, 2): $$(2 - 1)(2 + 3) = 1 * 5 = 5 > 0$$. Значит, справа от 1 знак "+". Дальше знаки чередуются.

Нужно найти интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал между -3 и 1, включая сами точки -3 и 1.

Ответ: $$x \in [-3; 1]$$.

Решим четвертое неравенство: $$(x - 2)(x + 5) > 0$$

Корни уже найдены: $$x_1 = 2, x_2 = -5$$

Решим методом интервалов. Отметим корни -5 и 2 на числовой прямой.

Определим знаки: возьмем число больше 2 (например, 3): $$(3 - 2)(3 + 5) = 1 * 8 = 8 > 0$$. Значит, справа от 2 знак "+". Дальше знаки чередуются.

Нужно найти интервалы, где выражение больше нуля. Это интервалы слева от -5 и справа от 2.

Ответ: $$x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$$.