Решение неравенств:

1. a) $$x^2 - 9 > 0$$<p>Разложим левую часть на множители как разность квадратов: $$ (x - 3)(x + 3) > 0 $$.</p><p>Найдем нули функции: $$x - 3 = 0$$ или $$x + 3 = 0$$. Отсюда $$x = 3$$ или $$x = -3$$.</p><p>Решим неравенство методом интервалов. Отметим точки -3 и 3 на числовой прямой. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $$(-\infty, -3)$$, $$(-3, 3)$$, $$(3, +\infty)$$.</p><p>Определим знак выражения $$(x - 3)(x + 3)$$ на каждом интервале:</p><ul><li>На интервале $$(-\infty, -3)$$ возьмем $$x = -4$$. Тогда $$(-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0$$.</li><li>На интервале $$(-3, 3)$$ возьмем $$x = 0$$. Тогда $$(0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0$$.</li><li>На интервале $$(3, +\infty)$$ возьмем $$x = 4$$. Тогда $$(4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 > 0$$.</li></ul><p>Выбираем интервалы, где выражение больше 0. Таким образом, решением неравенства является $$x < -3$$ или $$x > 3$$.</p><p><strong>Ответ: $$x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$$</strong></p>
2. б) $$x^2 - 11x + 30 \le 0$$<p>Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 11x + 30 = 0$$.</p><p>По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно 30. Тогда корни: $$x_1 = 5$$ и $$x_2 = 6$$.</p><p>Разложим квадратный трехчлен на множители: $$(x - 5)(x - 6) \le 0$$.</p><p>Решим неравенство методом интервалов. Отметим точки 5 и 6 на числовой прямой. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $$(-\infty, 5)$$, $$(5, 6)$$, $$(6, +\infty)$$.</p><p>Определим знак выражения $$(x - 5)(x - 6)$$ на каждом интервале:</p><ul><li>На интервале $$(-\infty, 5)$$ возьмем $$x = 4$$. Тогда $$(4 - 5)(4 - 6) = (-1)(-2) = 2 > 0$$.</li><li>На интервале $$(5, 6)$$ возьмем $$x = 5.5$$. Тогда $$(5.5 - 5)(5.5 - 6) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$$.</li><li>На интервале $$(6, +\infty)$$ возьмем $$x = 7$$. Тогда $$(7 - 5)(7 - 6) = (2)(1) = 2 > 0$$.</li></ul><p>Выбираем интервал, где выражение меньше или равно 0. Таким образом, решением неравенства является $$5 \le x \le 6$$.</p><p><strong>Ответ: $$x \in [5, 6]$$</strong></p>
3. в) $$-2x^2 + 5x - 2 < 0$$<p>Умножим обе части неравенства на -1, чтобы сделать коэффициент при $$x^2$$ положительным: $$2x^2 - 5x + 2 > 0$$.</p><p>Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - 5x + 2 = 0$$.</p><p>Вычислим дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$$.</p><p>Найдем корни: $$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ и $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$.</p><p>Разложим квадратный трехчлен на множители: $$2(x - \frac{1}{2})(x - 2) > 0$$.</p><p>Решим неравенство методом интервалов. Отметим точки $$\frac{1}{2}$$ и 2 на числовой прямой. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $$(-\infty, \frac{1}{2})$$, $$(\frac{1}{2}, 2)$$, $$(2, +\infty)$$.</p><p>Определим знак выражения $$2(x - \frac{1}{2})(x - 2)$$ на каждом интервале:</p><ul><li>На интервале $$(-\infty, \frac{1}{2})$$ возьмем $$x = 0$$. Тогда $$2(0 - \frac{1}{2})(0 - 2) = 2(-\frac{1}{2})(-2) = 2 > 0$$.</li><li>На интервале $$(\frac{1}{2}, 2)$$ возьмем $$x = 1$$. Тогда $$2(1 - \frac{1}{2})(1 - 2) = 2(\frac{1}{2})(-1) = -1 < 0$$.</li><li>На интервале $$(2, +\infty)$$ возьмем $$x = 3$$. Тогда $$2(3 - \frac{1}{2})(3 - 2) = 2(\frac{5}{2})(1) = 5 > 0$$.</li></ul><p>Выбираем интервалы, где выражение больше 0. Таким образом, решением неравенства является $$x < \frac{1}{2}$$ или $$x > 2$$.</p><p><strong>Ответ: $$x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (2, +\infty)$$</strong></p>