7. Решите неравенство: \(\frac{4x-12}{x-6} \ge 0.\)

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

\(4x - 12 = 0\)

\(4x = 12\)

\(x = 3\)

\(x - 6 = 0\)

\(x = 6\)

2. Отметим точки 3 и 6 на числовой прямой. Точка 3 закрашенная, так как неравенство нестрогое, а точка 6 выколотая, так как знаменатель не может быть равен нулю.

3. Определим знаки на каждом из интервалов:

Интервал \((-\infty; 3]\): возьмем \(x = 0\), тогда \(\frac{4(0)-12}{0-6} = \frac{-12}{-6} = 2 > 0\) (знак +)

Интервал \((3; 6)\): возьмем \(x = 4\), тогда \(\frac{4(4)-12}{4-6} = \frac{4}{-2} = -2 < 0\) (знак -)

Интервал \((6; +\infty)\): возьмем \(x = 7\), тогда \(\frac{4(7)-12}{7-6} = \frac{16}{1} = 16 > 0\) (знак +)

4. Выберем интервалы, где знак +, так как неравенство больше или равно 0.

Решением неравенства являются интервалы \((-\infty; 3]\) и \((6; +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty; 3] \cup (6; +\infty)\)