Решите неравенство: $$\frac{2^{3x} - 4 \cdot 2^{2x+1} + 5 \cdot 2^{x+2} - 16}{x-1} \ge 0$$

Решим данное неравенство. 1. Преобразуем числитель дроби: $$2^{3x} - 4 \cdot 2^{2x+1} + 5 \cdot 2^{x+2} - 16 = (2^x)^3 - 4 \cdot 2 \cdot (2^x)^2 + 5 \cdot 4 \cdot 2^x - 16 = (2^x)^3 - 8(2^x)^2 + 20(2^x) - 16$$ 2. Сделаем замену $$t = 2^x$$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^3 - 8t^2 + 20t - 16}{x-1} \ge 0$$ 3. Разложим числитель на множители. Заметим, что $$t=2$$ является корнем числителя, так как $$2^3 - 8 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 - 16 = 8 - 32 + 40 - 16 = 0$$. Тогда можно разделить многочлен $$t^3 - 8t^2 + 20t - 16$$ на $$(t-2)$$. В результате деления получим: $$t^3 - 8t^2 + 20t - 16 = (t-2)(t^2 - 6t + 8)$$. Квадратный трехчлен $$t^2 - 6t + 8$$ можно разложить на множители как $$(t-2)(t-4)$$. Таким образом, числитель можно записать как $$(t-2)^2(t-4)$$. 4. Вернемся к переменной $$x$$. Получаем: $$t-2 = 2^x - 2 \\ t-4 = 2^x - 4$$ Тогда неравенство принимает вид: $$\frac{(2^x - 2)^2(2^x - 4)}{x-1} \ge 0$$ 5. Анализируем неравенство. $$(2^x - 2)^2 \ge 0$$ при любом $$x$$. Но нужно учесть, что при $$2^x - 2 = 0$$, то есть при $$x = 1$$, числитель равен нулю. Однако при $$x = 1$$ знаменатель также равен нулю, поэтому $$x = 1$$ исключается. Рассмотрим $$2^x - 4 \ge 0$$, откуда $$2^x \ge 4$$, то есть $$2^x \ge 2^2$$, следовательно, $$x \ge 2$$. Также $$x-1 > 0$$, следовательно, $$x>1$$. 6. Составим числовую ось и отметим точки. 7. Решение: Таким образом, решением неравенства является $$x \in (1; 2] \cup [2; +\infty)$$, что можно записать как $$x \in (1; +\infty)$$. Ответ: $$x \in (1; +\infty)$$