Решение неравенства $$\frac{2x+6}{x-7} \ge 0$$

Для решения данного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя:

Числитель: $$2x + 6 = 0$$

$$2x = -6$$ $$x = -3$$

Знаменатель: $$x - 7 = 0$$

$$x = 7$$

Отметим полученные точки на числовой прямой. Важно помнить, что точка, в которой знаменатель равен нулю, должна быть исключена (пустая точка), так как на ноль делить нельзя. Точка, в которой числитель равен нулю, входит в решение (если неравенство нестрогое, как в данном случае).

Теперь рассмотрим интервалы, на которые разбивают числовую прямую точки -3 и 7:

• Интервал $$(-\infty, -3]$$: Возьмем $$x = -4$$. Тогда $$\frac{2(-4)+6}{-4-7} = \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11} > 0$$. Значит, на этом интервале функция положительна.
• Интервал $$(-3, 7)$$: Возьмем $$x = 0$$. Тогда $$\frac{2(0)+6}{0-7} = \frac{6}{-7} < 0$$. Значит, на этом интервале функция отрицательна.
• Интервал $$(7, +\infty)$$: Возьмем $$x = 8$$. Тогда $$\frac{2(8)+6}{8-7} = \frac{22}{1} = 22 > 0$$. Значит, на этом интервале функция положительна.

Таким образом, решением неравенства являются интервалы, где функция положительна или равна нулю. Учитывая, что точка x = -3 входит в решение, а точка x = 7 исключена, получаем:

Ответ: $$(-\infty, -3] \cup (7, +\infty)$$