Решите неравенство 45 a) (x² - 16)(x² - x - 2)(x + 2) > 0;

Для решения неравенства (x² - 16)(x² - x - 2)(x + 2) > 0 необходимо разложить многочлены на множители.

1) Разложим x² - 16 как разность квадратов:

$$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$

2) Разложим x² - x - 2 на множители. Найдем корни квадратного уравнения x² - x - 2 = 0:

С помощью теоремы Виета:

$$x_1 + x_2 = 1$$ $$x_1 cdot x_2 = -2$$

Корни: x₁ = 2, x₂ = -1.

Тогда x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1).

3) Перепишем исходное неравенство с учетом разложения на множители:

$$(x - 4)(x + 4)(x - 2)(x + 1)(x + 2) > 0$$

4) Найдем нули функции, то есть значения x, при которых выражение равно нулю:

$$x - 4 = 0 Rightarrow x = 4$$ $$x + 4 = 0 Rightarrow x = -4$$ $$x - 2 = 0 Rightarrow x = 2$$ $$x + 1 = 0 Rightarrow x = -1$$ $$x + 2 = 0 Rightarrow x = -2$$

5) Расположим найденные нули на числовой прямой в порядке возрастания:

$$-4, -2, -1, 2, 4$$

6) Определим знаки выражения на каждом из интервалов, образованных этими нулями. Возьмем пробные точки из каждого интервала и подставим их в неравенство:

• x < -4: возьмем x = -5. (-5 - 4)(-5 + 4)(-5 - 2)(-5 + 1)(-5 + 2) = (-9)(-1)(-7)(-4)(-3) < 0
• -4 < x < -2: возьмем x = -3. (-3 - 4)(-3 + 4)(-3 - 2)(-3 + 1)(-3 + 2) = (-7)(1)(-5)(-2)(-1) < 0
• -2 < x < -1: возьмем x = -1.5. (-1.5 - 4)(-1.5 + 4)(-1.5 - 2)(-1.5 + 1)(-1.5 + 2) = (-5.5)(2.5)(-3.5)(-0.5)(0.5) > 0
• -1 < x < 2: возьмем x = 0. (0 - 4)(0 + 4)(0 - 2)(0 + 1)(0 + 2) = (-4)(4)(-2)(1)(2) > 0
• 2 < x < 4: возьмем x = 3. (3 - 4)(3 + 4)(3 - 2)(3 + 1)(3 + 2) = (-1)(7)(1)(4)(5) < 0
• x > 4: возьмем x = 5. (5 - 4)(5 + 4)(5 - 2)(5 + 1)(5 + 2) = (1)(9)(3)(6)(7) > 0

7) Выбираем интервалы, где выражение больше нуля, и записываем ответ.

Ответ:

$$x in (-4; -2) cup (-1; 2) cup (4; +infty)$$