Решите неравенство $$\frac{4x^2+4x+1}{2x^2-5x-3} \ge 0$$.

Давайте решим это неравенство пошагово. 1. Упростим числитель и знаменатель: Числитель $$\(4x^2 + 4x + 1\)$$ является полным квадратом: $$\(4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2\)$$. Знаменатель $$\(2x^2 - 5x - 3\)$$ разложим на множители. Найдем корни квадратного уравнения $$\(2x^2 - 5x - 3 = 0\)$$. Дискриминант $$\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\)$$. Корни: $$\(x_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3\)$$ и $$\(x_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}\)$$. Следовательно, $$\(2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x + 1)\)$$. 2. Запишем неравенство в упрощенном виде: $$\frac{(2x+1)^2}{(x-3)(2x+1)} \ge 0$$. 3. Определим точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю: Числитель: $$\((2x+1)^2 = 0\)$$, отсюда $$\(x = -\frac{1}{2}\)$$. Знаменатель: $$\((x-3)(2x+1) = 0\)$$, отсюда $$\(x = 3\)$$ или $$\(x = -\frac{1}{2}\)$$. 4. Исключим значения, при которых знаменатель равен нулю: Так как знаменатель не может быть равен нулю, исключаем $$\(x = 3\)$$ и $$\(x = -\frac{1}{2}\)$$. 5. Анализируем знак неравенства: Заметим, что $$\((2x+1)^2 \ge 0\)$$ всегда (квадрат числа всегда неотрицателен). Поэтому знак дроби зависит только от знака выражения $$\((x-3)\)$$. Неравенство выполняется, когда $$\(x-3 > 0\)$$, то есть $$\(x > 3\)$$. Также необходимо учесть случай, когда $$\(2x+1 = 0\)$$, то есть $$\(x = -\frac{1}{2}\)$$. Однако, мы уже исключили это значение, так как знаменатель не может быть равен нулю, поэтому нужно проверить, не является ли данная точка изолированным решением. Подставив $$\(x = -\frac{1}{2}\)$$ в исходное неравенство, получаем $$\frac{0}{0}\), что является неопределенностью, поэтому $$\(x = -\frac{1}{2}\)$$ не является решением. 6. Запишем окончательный ответ: $$\(x > 3\)$$, то есть $$\(x \in (3; +\infty)\). Ответ: $$\(x \in (3; +\infty)\)$$