Решите неравенство: 4) (2-x)(x²+2x-8)≥0; 9) (x²+2x-15)(x²-4x+3)≤0; 5) \frac{1}{x}≥\frac{1}{x-2};

Ответ: 4) x ∈ (-∞; -4] ∪ [2]

1. Шаг 1: Решаем неравенство (2-x)(x²+2x-8)≥0

   Разложим квадратный трехчлен на множители: x² + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)

   Тогда неравенство принимает вид: (2 - x)(x + 4)(x - 2) ≥ 0

   Умножим на -1: (x - 2)(x + 4)(x - 2) ≥ 0

   (x - 2)²(x + 4) ≥ 0

2. Шаг 2: Находим корни уравнения (x - 2)²(x + 4) = 0

   x = 2 (кратный корень) и x = -4

3. Шаг 3: Метод интервалов

   На числовой прямой отмечаем точки -4 и 2 и определяем знаки выражения на каждом интервале:

   x < -4: (-)(-)(-) < 0

   -4 < x < 2: (+)(-)(-) > 0

   x > 2: (+)(+)(+) > 0

4. Шаг 4: Записываем решение

   x ∈ (-∞; -4] ∪ [2]

Ответ: 4) x ∈ (-∞; -4] ∪ [2]

Ответ: 9) x ∈ [-5; -3] ∪ [1; 3]

1. Шаг 1: Решаем неравенство (x²+2x-15)(x²-4x+3)≤0

   Разложим квадратные трехчлены на множители:

   x² + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)

   x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

   Тогда неравенство принимает вид: (x + 5)(x - 3)(x - 1)(x - 3) ≤ 0

   (x + 5)(x - 1)(x - 3)² ≤ 0

2. Шаг 2: Находим корни уравнения (x + 5)(x - 1)(x - 3)² = 0

   x = -5, x = 1, x = 3 (кратный корень)

3. Шаг 3: Метод интервалов

   На числовой прямой отмечаем точки -5, 1 и 3 и определяем знаки выражения на каждом интервале:

   x < -5: (-)(-)(-) > 0

   -5 < x < 1: (+)(-)(-) < 0

   1 < x < 3: (+)(+)(-) > 0

   x > 3: (+)(+)(+) > 0

4. Шаг 4: Записываем решение

   x ∈ [-5; -3] ∪ [1; 3]

Ответ: 9) x ∈ [-5; -3] ∪ [1; 3]

Ответ: 5) x ∈ (0; 2)

1. Шаг 1: Решаем неравенство \(\frac{1}{x}≥\frac{1}{x-2}\)

   Переносим все в одну сторону: \(\frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} ≥ 0\)

   Приводим к общему знаменателю: \(\frac{x-2 - x}{x(x-2)} ≥ 0\)

   Упрощаем: \(\frac{-2}{x(x-2)} ≥ 0\)

   Умножаем на -1: \(\frac{2}{x(x-2)} ≤ 0\)

   \(\frac{1}{x(x-2)} ≤ 0\)

2. Шаг 2: Находим корни уравнения x(x-2) = 0

   x = 0 и x = 2

3. Шаг 3: Метод интервалов

   На числовой прямой отмечаем точки 0 и 2 и определяем знаки выражения на каждом интервале:

   x < 0: (+)(-)(-) > 0

   0 < x < 2: (+)(+)(-) < 0

   x > 2: (+)(+)(+) > 0

4. Шаг 4: Записываем решение

   x ∈ (0; 2)

Ответ: 5) x ∈ (0; 2)