Решите неравенство 1/x ≥ 1/(x-4)

Решение:

Перенесём всё в одну часть и приведём к общему знаменателю:

\( \frac{1}{x} - \frac{1}{x-4} \ge 0 \)

\( \frac{(x-4) - x}{x(x-4)} \ge 0 \)

\( \frac{-4}{x(x-4)} \ge 0 \)

Чтобы дробь была неотрицательной, а числитель отрицательный, знаменатель должен быть отрицательным:

\( x(x-4) < 0 \)

Решим методом интервалов. Корни знаменателя: \( x=0 \) и \( x=4 \).

Рассмотрим знаки на интервалах:

• \( (-\infty, 0) \): \( x < 0 \), \( x-4 < 0 \), \( x(x-4) > 0 \)
• \( (0, 4) \): \( x > 0 \), \( x-4 < 0 \), \( x(x-4) < 0 \)
• \( (4, \infty) \): \( x > 0 \), \( x-4 > 0 \), \( x(x-4) > 0 \)

Нам нужен интервал, где \( x(x-4) < 0 \), то есть \( (0, 4) \).

Ответ: \( (0, 4) \).