Решите неравенство (x²+2x-15)(x² - 4x + 3) ≤ 0

Решение:

Сначала найдём корни каждого квадратного трёхчлена:

1. \( x^2 + 2x - 15 = 0 \)

\( D = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \)

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2+8}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = -5 \)

2. \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)

\( D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 \)

\( x_3 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4+2}{2} = 3 \)

\( x_4 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \)

Теперь неравенство примет вид:

\( (x+5)(x-3)(x-1)(x-3) \le 0 \)

\( (x+5)(x-1)(x-3)^2 \le 0 \)

Рассмотрим знаки на интервалах. Корень \( x=3 \) имеет кратность 2, поэтому на знаке он не отражается.

• \( (-\infty, -5] \): \( (-)(-) (+) \) → \( + \)
• \( [-5, 1] \): \( (+)(-) (+) \) → \( - \)
• \( [1, 3) \): \( (+)(+) (+) \) → \( + \)
• \( (3, \infty) \): \( (+)(+) (+) \) → \( + \)

Нам нужен интервал, где выражение ≤ 0.

Ответ: \( [-5, 1] \).