3. Решите неравенство: a) $$\frac{4x-x^2}{3+2x} \le 0$$ 6) $$log_5(3x+1) < 2$$

Решение неравенства:

1. Решим неравенство a) $$\frac{4x-x^2}{3+2x} \le 0$$

   Для начала найдем нули числителя и знаменателя:

   Числитель: $$4x - x^2 = 0$$ $$x(4-x) = 0$$ Отсюда, $$x = 0$$ или $$x = 4$$.

   Знаменатель: $$3 + 2x = 0$$ $$2x = -3$$ $$x = -\frac{3}{2} = -1.5$$.

   Теперь нанесем найденные точки на числовую прямую и определим знаки выражения на каждом из интервалов:

   ----(-1.5)++++(0)----(4)++++

   Так как неравенство нестрогое ($$\le 0$$), точки, где числитель равен нулю, будут включены в решение, а точки, где знаменатель равен нулю, исключены, так как на ноль делить нельзя.

   Ответ: $$x \in (-\infty; -1.5) \cup [0; 4]$$.

2. Решим неравенство б) $$\log_5(3x+1) < 2$$

   Для начала определим ОДЗ (область допустимых значений): $$3x + 1 > 0$$ $$3x > -1$$ $$x > -\frac{1}{3}$$

   Далее, преобразуем неравенство, используя определение логарифма: $$\log_5(3x+1) < 2$$ $$3x + 1 < 5^2$$ $$3x + 1 < 25$$ $$3x < 24$$ $$x < 8$$

   Теперь объединим полученное решение с ОДЗ: $$- \frac{1}{3} < x < 8$$

   Ответ: $$x \in (-\frac{1}{3}; 8)$$.