Решите неравенство \(\frac{(x^2 + 2x - 3)(x^2 - 16)}{(x^2 - 1)(x^2 - 9)} \ge 0\). В ответ запишите наименьшее целое положительное число, являющееся решением данного неравенства.

Решим неравенство методом интервалов. Сначала разложим числитель и знаменатель на множители: \(\frac{(x^2 + 2x - 3)(x^2 - 16)}{(x^2 - 1)(x^2 - 9)} = \frac{(x+3)(x-1)(x-4)(x+4)}{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)} \ge 0\) Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (с учетом ОДЗ): \(\frac{(x+3)(x-1)(x-4)(x+4)}{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)} = \frac{(x-4)(x+4)}{(x+1)(x-3)} \ge 0\), при \(x
e 1\), \(x
e -3\). Отметим нули числителя и знаменателя на числовой прямой: \(-4, -1, 3, 4\). Заметим, что точки \(-4\) и \(4\) входят в решение (неравенство нестрогое), а \(-1\) и \(3\) не входят в решение (знаменатель не может быть равен нулю). Теперь определим знаки на каждом интервале: * \(x < -4\): все скобки отрицательны, знак \(+\) * \(-4 < x < -1\): \((x-4)\) и \((x+4)\) меняют знаки. Всего получается один минус, значит знак \(-\). * \(-1 < x < 3\): \((x+1)\) становится положительным, количество минусов чётное, значит знак \(+\). * \(3 < x < 4\): \((x-3)\) становится положительным, количество минусов нечётное, значит знак \(-\). * \(x > 4\): все скобки положительные, знак \(+\). Решением являются интервалы, где выражение больше или равно нулю: \((-\infty; -4] \cup (-1; 3) \cup [4; +\infty)\). Теперь учтем ОДЗ \(x
e 1\) и \(x
e -3\). Тогда получаем: \((-\infty; -4] \cup (-3; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 3) \cup [4; +\infty)\). Нам нужно найти наименьшее целое положительное число, являющееся решением неравенства. Из полученного решения видно, что это число \(4\). **Ответ: 4**