4. Решите неравенство 2-х/x(x+3)(x-4)≥0

Ответ: \(-\infty; -3\) \cup [0; 2] \cup (4; +\infty)

Разбираемся:

Шаг 1: Находим нули числителя и знаменателя

Числитель: \[2 - x = 0\]

\[x = 2\]

Знаменатель: \[x(x + 3)(x - 4) = 0\]

\[x = 0, x = -3, x = 4\]

Шаг 2: Метод интервалов

Отметим точки \[-3, 0, 2, 4\] на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на пять интервалов: \[(-\infty, -3), (-3, 0), (0, 2), (2, 4), (4, +\infty)\]

Шаг 3: Определяем знаки на интервалах

• \[x < -3\]: Например, \[x = -4\]; \[\frac{2 - (-4)}{-4(-4 + 3)(-4 - 4)} = \frac{6}{-4(-1)(-8)} = \frac{6}{-32} < 0\]
• \[-3 < x < 0\]: Например, \[x = -1\]; \[\frac{2 - (-1)}{-1(-1 + 3)(-1 - 4)} = \frac{3}{-1(2)(-5)} = \frac{3}{10} > 0\]
• \[0 < x < 2\]: Например, \[x = 1\]; \[\frac{2 - 1}{1(1 + 3)(1 - 4)} = \frac{1}{1(4)(-3)} = \frac{1}{-12} < 0\]
• \[2 < x < 4\]: Например, \[x = 3\]; \[\frac{2 - 3}{3(3 + 3)(3 - 4)} = \frac{-1}{3(6)(-1)} = \frac{-1}{-18} > 0\]
• \[x > 4\]: Например, \[x = 5\]; \[\frac{2 - 5}{5(5 + 3)(5 - 4)} = \frac{-3}{5(8)(1)} = \frac{-3}{40} < 0\]

Шаг 4: Выбираем нужные интервалы

Нам нужно, чтобы \[\frac{2 - x}{x(x + 3)(x - 4)} ≥ 0\]

Это выполняется на интервалах \[(-3, 0)\] и \[(2, 4)\]

Также нужно учесть, что при \[x = 2\] числитель равен нулю, и неравенство выполняется. Однако при \[x = -3, 0, 4\] знаменатель равен нулю, поэтому эти точки нужно исключить.

Шаг 5: Записываем ответ

\[x ∈ (-\infty; -3\) \cup (0; 2] \cup (4; +\infty)\]

Ответ: \(-\infty; -3\) \cup [0; 2] \cup (4; +\infty)