1. Решите неравенство (x² + 6x+9)(x-3)² ≤ 0

Ответ: \{-3\}

Разбираемся:

Шаг 1: Упростим выражение

\[(x^2 + 6x + 9)(x - 3)^2 ≤ 0\]

Заметим, что \[x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\]

Тогда неравенство можно переписать как: \[(x + 3)^2(x - 3)^2 ≤ 0\]

Шаг 2: Анализируем выражение

Выражение \[(x + 3)^2(x - 3)^2\] всегда неотрицательно, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Значит, неравенство выполняется только тогда, когда выражение равно нулю.

Шаг 3: Находим нули выражения

Выражение равно нулю, когда \[x + 3 = 0\] или \[x - 3 = 0\]

То есть, когда \[x = -3\] или \[x = 3\]

Шаг 4: Проверяем, удовлетворяют ли найденные значения неравенству

При \[x = -3\]: \[(-3 + 3)^2(-3 - 3)^2 = 0^2 \cdot (-6)^2 = 0 ≤ 0\] - верно

При \[x = 3\]: \[(3 + 3)^2(3 - 3)^2 = 6^2 \cdot 0^2 = 0 ≤ 0\] - верно

Шаг 5: Учитываем условие неравенства

Так как нам нужно \[≤ 0\] , то подходят только значения, при которых выражение равно нулю.

Ответ: \{-3\}