4. Решите неравенство методом интервалов: 1) x(x+10)(x-3)≥0; 2) (3x-2)(5-x)>0; 3) \frac{x-3}{x+7}≤0.

Решим каждое неравенство методом интервалов:

1) x(x+10)(x-3) ≥ 0

Нули функции: x = 0, x = -10, x = 3.

Интервалы: (-∞, -10), (-10, 0), (0, 3), (3, +∞).

• x < -10 (например, x = -11): (-11)(-11 + 10)(-11 - 3) = (-11)(-1)(-14) = -154 < 0
• -10 < x < 0 (например, x = -1): (-1)(-1 + 10)(-1 - 3) = (-1)(9)(-4) = 36 > 0
• 0 < x < 3 (например, x = 1): (1)(1 + 10)(1 - 3) = (1)(11)(-2) = -22 < 0
• x > 3 (например, x = 4): (4)(4 + 10)(4 - 3) = (4)(14)(1) = 56 > 0

Решение: x ∈ [-10, 0] ∪ [3, +∞).

2) (3x-2)(5-x) > 0

Нули функции: 3x - 2 = 0 => x = 2/3, 5 - x = 0 => x = 5.

Интервалы: (-∞, 2/3), (2/3, 5), (5, +∞).

• x < 2/3 (например, x = 0): (3(0) - 2)(5 - 0) = (-2)(5) = -10 < 0
• 2/3 < x < 5 (например, x = 1): (3(1) - 2)(5 - 1) = (1)(4) = 4 > 0
• x > 5 (например, x = 6): (3(6) - 2)(5 - 6) = (16)(-1) = -16 < 0

Решение: x ∈ (2/3, 5).

3) \(\frac{x-3}{x+7} ≤ 0\)

Нули функции: x - 3 = 0 => x = 3. Знаменатель не должен быть равен нулю: x + 7 ≠ 0 => x ≠ -7.

Интервалы: (-∞, -7), (-7, 3], (3, +∞).

• x < -7 (например, x = -8): (-8 - 3) / (-8 + 7) = (-11) / (-1) = 11 > 0
• -7 < x ≤ 3 (например, x = 0): (0 - 3) / (0 + 7) = (-3) / (7) = -3/7 < 0
• x > 3 (например, x = 4): (4 - 3) / (4 + 7) = (1) / (11) = 1/11 > 0

Решение: x ∈ (-7, 3].

Ответ:

1) x ∈ [-10, 0] ∪ [3, +∞)

2) x ∈ (2/3, 5)

3) x ∈ (-7, 3]

Ответ:

1) x ∈ [-10, 0] ∪ [3, +∞); 2) x ∈ (2/3, 5); 3) x ∈ (-7, 3]

Ответ:

1) x ∈ [-10, 0] ∪ [3, +∞); 2) x ∈ (2/3, 5); 3) x ∈ (-7, 3]