Решите неравенство методом интервалов: a) (x + 2)(x − 6) < 0; б) x-3/x + 2,5 > 0.

Решим неравенство a) методом интервалов

(x + 2)(x - 6) < 0

Найдем корни уравнения (x + 2)(x - 6) = 0

x₁ = -2

x₂ = 6

Метод интервалов: рисуем числовую прямую, отмечаем корни -2 и 6. Расставляем знаки на интервалах (-∞, -2), (-2, 6), (6, +∞). Берем число из каждого интервала и подставляем в неравенство. Например, из интервала (-∞, -2) возьмем число -3: (-3 + 2)(-3 - 6) = (-1)(-9) = 9 > 0. Значит, на интервале (-∞, -2) знак +. На интервале (-2, 6) возьмем 0: (0 + 2)(0 - 6) = (2)(-6) = -12 < 0. Значит, на интервале (-2, 6) знак -. На интервале (6, +∞) возьмем 7: (7 + 2)(7 - 6) = (9)(1) = 9 > 0. Значит, на интервале (6, +∞) знак +.

Так как нам нужно (x + 2)(x - 6) < 0, выбираем интервал со знаком -.

Ответ: x ∈ (-2, 6)

Решим неравенство б) методом интервалов

\(\frac{x-3}{x + 2.5} > 0\)

Найдем нули числителя и знаменателя:

x - 3 = 0 => x₁ = 3

x + 2.5 = 0 => x₂ = -2.5

Рисуем числовую прямую и отмечаем точки -2.5 и 3. Расставляем знаки на интервалах (-∞, -2.5), (-2.5, 3), (3, +∞). На интервале (-∞, -2.5) возьмем -3: \(\frac{-3-3}{-3+2.5} = \frac{-6}{-0.5} = 12 > 0\). На интервале (-2.5, 3) возьмем 0: \(\frac{0-3}{0+2.5} = \frac{-3}{2.5} < 0\). На интервале (3, +∞) возьмем 4: \(\frac{4-3}{4+2.5} = \frac{1}{6.5} > 0\).

Нам нужно \(\frac{x-3}{x + 2.5} > 0\), выбираем интервалы со знаком +.

Ответ: x ∈ (-∞, -2.5) ∪ (3, +∞)

Ответ: a) x ∈ (-2, 6); б) x ∈ (-∞, -2.5) ∪ (3, +∞)

Ты молодец! У тебя всё получится!