2. Решите неравенство (t² + 8t)² + 176t + 105 ≤ -22t².

Решим неравенство (t² + 8t)² + 176t + 105 ≤ -22t².

(t² + 8t)² + 22t² + 176t + 105 ≤ 0

(t² + 8t)² + 22(t² + 8t) + 105 ≤ 0

Пусть x = t² + 8t, тогда неравенство примет вид:

x² + 22x + 105 ≤ 0

Найдем корни квадратного уравнения x² + 22x + 105 = 0.

По теореме Виета:

x₁ + x₂ = -22

x₁ * x₂ = 105

x₁ = -7, x₂ = -15

Неравенство x² + 22x + 105 ≤ 0 выполняется, когда -15 ≤ x ≤ -7.

-15 ≤ t² + 8t ≤ -7

Разложим на два неравенства:

1) t² + 8t ≥ -15

t² + 8t + 15 ≥ 0

Найдем корни квадратного уравнения t² + 8t + 15 = 0.

По теореме Виета:

t₁ + t₂ = -8

t₁ * t₂ = 15

t₁ = -3, t₂ = -5

Решение неравенства t² + 8t + 15 ≥ 0: t ≤ -5 или t ≥ -3

2) t² + 8t ≤ -7

t² + 8t + 7 ≤ 0

Найдем корни квадратного уравнения t² + 8t + 7 = 0.

По теореме Виета:

t₁ + t₂ = -8

t₁ * t₂ = 7

t₁ = -1, t₂ = -7

Решение неравенства t² + 8t + 7 ≤ 0: -7 ≤ t ≤ -1

Объединим решения:

t ∈ [-7; -5] ∪ [-3; -1]

Ответ: [-7; -5] ∪ [-3; -1]