Решение неравенства

Нам нужно решить неравенство $$(x-5)^2 < \sqrt{7}(x-5)$$.

Сделаем замену $$y = x-5$$. Тогда неравенство примет вид:

$$y^2 < \sqrt{7}y$$

Перенесем все в левую часть:

$$y^2 - \sqrt{7}y < 0$$

Вынесем $$y$$ за скобку:

$$y(y - \sqrt{7}) < 0$$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $$y(y - \sqrt{7}) = 0$$.

Корни: $$y_1 = 0$$ и $$y_2 = \sqrt{7}$$.

Изобразим числовую прямую и отметим на ней корни:

----(0)----($$\sqrt{7}$$)----

Определим знаки на интервалах:

• $$y < 0$$: выбираем $$y = -1$$, тогда $$(-1)(-1 - \sqrt{7}) = (-1)(-) > 0$$
• $$0 < y < \sqrt{7}$$: выбираем $$y = 1$$, тогда $$(1)(1 - \sqrt{7}) = (1)(-) < 0$$
• $$y > \sqrt{7}$$: выбираем $$y = 3$$, тогда $$(3)(3 - \sqrt{7}) = (3)(+) > 0$$

Таким образом, решением неравенства является интервал $$0 < y < \sqrt{7}$$.

Вернемся к переменной $$x$$: $$0 < x-5 < \sqrt{7}$$.

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$$5 < x < 5 + \sqrt{7}$$

Итак, решение неравенства: $$x \in (5; 5 + \sqrt{7})$$.

Решение задачи про фрукты

Пусть $$x$$ кг - масса свежих фруктов. Тогда в свежих фруктах содержится 91% воды, то есть $$0.91x$$ кг воды и $$0.09x$$ кг сухого вещества.

После высушивания фруктов, мы получили 11 кг высушенных фруктов, в которых 11% воды, то есть $$0.11 \cdot 11 = 1.21$$ кг воды и $$11 - 1.21 = 9.79$$ кг сухого вещества.

Масса сухого вещества не меняется в процессе высушивания, поэтому:

$$0.09x = 9.79$$ $$x = \frac{9.79}{0.09} = \frac{979}{9} \approx 108.78$$

Округлим до десятых: $$x \approx 108.8$$ кг.

Ответ: Для получения 11 кг высушенных фруктов потребуется приблизительно 108.8 кг свежих фруктов.