Решите неравенство: (6x^2 - 5x - 1 le 0)

Решим квадратное неравенство (6x^2 - 5x - 1 le 0). 1. Найдем корни квадратного уравнения: (6x^2 - 5x - 1 = 0) Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: (x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}) В нашем случае (a = 6), (b = -5), (c = -1). (D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 cdot 6 cdot (-1) = 25 + 24 = 49) (x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1) (x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}) 2. Определим интервалы и знаки неравенства: Корни уравнения: (x_1 = 1), (x_2 = -\frac{1}{6}). Отметим эти корни на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на три интервала: ((-\infty; -\frac{1}{6}]), ([-\frac{1}{6}; 1]), ([1; +\infty)). 3. Проверим знаки на каждом интервале: a) (x < -\frac{1}{6}), например, (x = -1): (6(-1)^2 - 5(-1) - 1 = 6 + 5 - 1 = 10 > 0) b) (-\frac{1}{6} < x < 1), например, (x = 0): (6(0)^2 - 5(0) - 1 = -1 < 0) c) (x > 1), например, (x = 2): (6(2)^2 - 5(2) - 1 = 24 - 10 - 1 = 13 > 0) 4. Выберем интервал, где неравенство (6x^2 - 5x - 1 le 0) выполняется: Неравенство выполняется на интервале ([-\frac{1}{6}; 1]), так как на этом интервале значение квадратного трехчлена меньше или равно нулю. Ответ: (x \in [-\frac{1}{6}; 1])