Решите неравенство $$x^2 - 12x \geq 3x + 1$$.

Перепишем неравенство в стандартном виде: $$x^2 - 12x - 3x - 1 \geq 0$$, что упрощается до $$x^2 - 15x - 1 \geq 0$$. 1. **Найдем корни уравнения:** Решим квадратное уравнение $$x^2 - 15x - 1 = 0$$. Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(1)(-1) = 225 + 4 = 229$$. 2. **Вычислим корни:** $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{229}}{2}$$ и $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{229}}{2}$$. 3. **Определим интервалы:** Корни делят числовую прямую на три интервала: $$(-\infty, \frac{15 - \sqrt{229}}{2}]$$, $$[\frac{15 - \sqrt{229}}{2}, \frac{15 + \sqrt{229}}{2}]$$ и $$[\frac{15 + \sqrt{229}}{2}, +\infty)$$. 4. **Определим знаки на интервалах:** - Возьмем $$x = 0$$ (если он не входит в корень) и проверим знак: $$0^2 - 15*0 - 1 = -1 < 0$$. - Нам нужны интервалы, где $$x^2 - 15x - 1 \geq 0$$. Поскольку парабола открывается вверх, неравенство будет выполнено вне интервала между корнями. 5. **Вывод:** Неравенство выполняется на интервалах $$(-\infty, \frac{15 - \sqrt{229}}{2}]$$ и $$[\frac{15 + \sqrt{229}}{2}, +\infty)$$. Итоговый ответ: $$x \in (-\infty, \frac{15 - \sqrt{229}}{2}] \cup [\frac{15 + \sqrt{229}}{2}, +\infty)$$