Решите неравенство: (x²-x-6)(x²-8x+15) ≥0.

Решим неравенство методом интервалов.

Шаг 1: Решаем первое квадратное уравнение: x² - x - 6 = 0

D = (-1)² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

x₁ = (1 + √25) / 2 = (1 + 5) / 2 = 3

x₂ = (1 - √25) / 2 = (1 - 5) / 2 = -2

Шаг 2: Решаем второе квадратное уравнение: x² - 8x + 15 = 0

D = (-8)² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4

x₃ = (8 + √4) / 2 = (8 + 2) / 2 = 5

x₄ = (8 - √4) / 2 = (8 - 2) / 2 = 3

Шаг 3: Отмечаем корни на числовой прямой: -2, 3, 5

    +      -      +      +   
---(-2)---(3)---(5)---------

Шаг 4: Определяем знаки на интервалах, подставляя значения из каждого интервала в исходное неравенство.

• x < -2: (-3)² - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0; (-3)² - 8(-3) + 15 = 9 + 24 + 15 = 48 > 0; (+)*(+) > 0
• -2 < x < 3: (0)² - (0) - 6 = -6 < 0; (0)² - 8(0) + 15 = 15 > 0; (-)*(+) < 0
• 3 < x < 5: (4)² - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0; (4)² - 8(4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1 < 0; (+)*(-) < 0
• x > 5: (6)² - (6) - 6 = 36 - 6 - 6 = 24 > 0; (6)² - 8(6) + 15 = 36 - 48 + 15 = 3 > 0; (+)*(+) > 0

Шаг 5: Записываем решение, учитывая знак ≥ 0.